ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema de equações diferenciais:
Informações dadas que vamos usar:
- O sistema é linear com coeficientes constantes (não depende de
explicitamente). - Queremos encontrar
e gerais, isto é, a solução geral do sistema.
Passo 2
Colocar o sistema em forma matricial facilita a técnica. Definindo
, escrevemos
onde a matriz
é
Explicação curta do porquê: resolver
reduz o problema a encontrar funções exponenciais associadas aos autovalores e autovetores de
.]
Passo 3
Para achar autovalores
calculamos o polinômio característico
. Fazendo as contas:
Agora expandindo passo a passo:
e somando
(que vem de
) obtemos
Logo o único autovalor é
, com multiplicidade algébrica
.]
Passo 4
Agora encontramos autovetores associados a
. Solucionamos
:
A equação
dá
Um autovetor conveniente é
Observação importante (didática): a multiplicidade geométrica (nº de autovetores linearmente independentes) é
, menor que a multiplicidade algébrica
. Isso significa que
não é diagonalizável — teremos uma cadeia de Jordan e precisamos de um autovetor generalizado.]
Passo 5
Uma autovetor generalizado
satisfaz
Escrevendo
, a equação é
ou seja
Isto implica
Podemos escolher uma solução particular simples; por exemplo escolher
leva a
. Assim um autovetor generalizado é
Observação: qualquer outra solução difere desta por um múltiplo de
, e isso só altera as constantes finais da solução geral.]
Passo 6
Quando há um autovalor
com multiplicidade 2 e apenas um autovetor
, a teoria de sistemas lineares (cadeia de Jordan) diz que duas soluções fundamentais independentes são
Vou mostrar rapidamente por que
funciona (verificação direta):
Calcule a derivada
Calcule a derivada
Como
, temos
. Além disso
. Então
que coincide com a derivada acima. Portanto
é solução. Isso confirma as duas soluções fundamentais.
Passo 7
Com
,
e
, a solução geral é combinação linear:
onde
são constantes arbitrárias. Agora expandimos para obter
e
explicitamente:
Podemos também reparametrizar as constantes (por estética), mas a forma acima já é clara e correta.]
Passo 8
Resumo amigável: o método foi
- colocar em forma matricial;
- achar autovalores (aqui
dupla); - verificar que só existe um autovetor e então achar autovetor generalizado;
- formar as duas soluções fundamentais
e ; - combinar linearmente para obter a solução geral.
Força aí — sistemas com valor próprio repetido e cadeia de Jordan são frequentes em provas; agora já sabes o passo a passo.