O que se pede é a solução geral \mathbf{X}(t) para todo t\in(-\infty,\infty).
Informações relevantes fornecidas:
Matriz do sistema: A=\begin{pmatrix}4 & \tfrac{1}{3} \\[4pt] 9 & 6\end{pmatrix}.
Termo não-homogêneo: \mathbf{f}(t)=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]10\end{pmatrix}e^{t}.
Deseja-se a solução geral \mathbf{X}(t).]
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral do sistema homogêneo associado:
\mathbf{X}^{\prime}=A\mathbf{X}.
Método: procurar soluções da forma \mathbf{X}(t)=\mathbf{v}e^{\lambda t}, onde \lambda (autovalor) e \mathbf{v} (autovetor) satisfazem (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Calcular o polinômio característico de A. A trace e o determinante de A são:
portanto os autovalores são \lambda_{1}=3 e \lambda_{2}=7. Como os autovalores são reais e distintos, teremos duas soluções fundamentais independentes \mathbf{v}_1e^{3t} e \mathbf{v}_2e^{7t}.
Passo 4
Encontrar autovetor para \lambda_{1}=3: resolver (A-3I)\mathbf{v}=\mathbf{0}. Temos
A primeira equação da matriz dá 1\cdot v_1+\tfrac{1}{3}v_2=0, logo v_1=-\tfrac{1}{3}v_2. Tomando v_2=3 (escolha conveniente), obtemos v_1=-1. Assim um autovetor é
Breve explicação didática: cada termo \mathbf{v}e^{\lambda t} satisfaz o homogêneo porque derivando dá \lambda\mathbf{v}e^{\lambda t}=A\mathbf{v}e^{\lambda t}, ou seja (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}. Com \lambda distintos, os vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 são independentes e geram todas as soluções do homogêneo na dimensão 2.]
Passo 7
Agora aplicamos o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular \mathbf{X}_{p}(t) do sistema não-homogêneo. O termo forçante é um múltiplo de e^{t}: \mathbf{f}(t)=\mathbf{b}e^{t} com \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]10\end{pmatrix}.
Regra prática: se e^{\alpha t} não é solução do homogêneo (i.e. \alpha não é autovalor de A), tenta-se uma particular da forma constante vezes e^{\alpha t}, isto é \mathbf{X}_{p}(t)=\mathbf{u}e^{\alpha t} com \mathbf{u} constante. Aqui \alpha=1, e como 1 não é autovalor (autovalores são 3 e 7), podemos tentar
\mathbf{X}_{p}(t)=\mathbf{u}e^{t},
onde \mathbf{u}=\begin{pmatrix}u_{1}\\[4pt]u_{2}\end{pmatrix} é vetor constante desconhecido.]
Passo 8
Inserir \mathbf{X}_{p} na equação: \mathbf{X}_{p}'=\mathbf{u}e^{t}. De \mathbf{X}'=A\mathbf{X}+\mathbf{b}e^{t} obtemos