aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema em ( -\infty, \infty ).
\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}4 & \frac{1}{3} \\\\ 9 & 6\end{array}\right) \mathbf{X}+\binom{-3}{10} e^{t}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear não-homogêneo no intervalo (-\infty,\infty):
\mathbf{X}^{\prime}=\begin{pmatrix}4 & \tfrac{1}{3} \\[4pt] 9 & 6\end{pmatrix}\mathbf{X}+\begin{pmatrix}-3\\[4pt]10\end{pmatrix}e^{t}.
O que se pede é a solução geral \mathbf{X}(t) para todo t\in(-\infty,\infty).
Informações relevantes fornecidas:
  • Matriz do sistema: A=\begin{pmatrix}4 & \tfrac{1}{3} \\[4pt] 9 & 6\end{pmatrix}.
  • Termo não-homogêneo: \mathbf{f}(t)=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]10\end{pmatrix}e^{t}.
  • Deseja-se a solução geral \mathbf{X}(t).]

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral do sistema homogêneo associado:
\mathbf{X}^{\prime}=A\mathbf{X}.
Método: procurar soluções da forma \mathbf{X}(t)=\mathbf{v}e^{\lambda t}, onde \lambda (autovalor) e \mathbf{v} (autovetor) satisfazem (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Calcular o polinômio característico de A. A trace e o determinante de A são:
\operatorname{tr}(A)=4+6=10,\qquad \det(A)=4\cdot6-\tfrac{1}{3}\cdot9=24-3=21.
Logo o polinômio característico é
\lambda^{2}-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)=\lambda^{2}-10\lambda+21.

Passo 3

Resolver \lambda^{2}-10\lambda+21=0. Fatorando:
\lambda^{2}-10\lambda+21=(\lambda-3)(\lambda-7),
portanto os autovalores são \lambda_{1}=3 e \lambda_{2}=7. Como os autovalores são reais e distintos, teremos duas soluções fundamentais independentes \mathbf{v}_1e^{3t} e \mathbf{v}_2e^{7t}.

Passo 4

Encontrar autovetor para \lambda_{1}=3: resolver (A-3I)\mathbf{v}=\mathbf{0}. Temos
A-3I=\begin{pmatrix}4-3 & \tfrac{1}{3} \\[4pt] 9 & 6-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{3} \\[4pt] 9 & 3\end{pmatrix}.
A primeira equação da matriz dá 1\cdot v_1+\tfrac{1}{3}v_2=0, logo v_1=-\tfrac{1}{3}v_2. Tomando v_2=3 (escolha conveniente), obtemos v_1=-1. Assim um autovetor é
\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Encontrar autovetor para \lambda_{2}=7: resolver (A-7I)\mathbf{v}=\mathbf{0}. Calcula-se
A-7I=\begin{pmatrix}4-7 & \tfrac{1}{3} \\[4pt] 9 & 6-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & \tfrac{1}{3} \\[4pt] 9 & -1\end{pmatrix}.
A primeira equação dá -3v_1+\tfrac{1}{3}v_2=0, ou v_2=9v_1. Tomando v_1=1, obtemos v_2=9. Assim um autovetor é
\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]9\end{pmatrix}.]

Passo 6

Portanto a solução geral do homogêneo é combinação linear das soluções fundamentais:
\mathbf{X}_{h}(t)=C_{1}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix}e^{3t}+C_{2}\begin{pmatrix}1\\[4pt]9\end{pmatrix}e^{7t},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Breve explicação didática: cada termo \mathbf{v}e^{\lambda t} satisfaz o homogêneo porque derivando dá \lambda\mathbf{v}e^{\lambda t}=A\mathbf{v}e^{\lambda t}, ou seja (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}. Com \lambda distintos, os vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 são independentes e geram todas as soluções do homogêneo na dimensão 2.]

Passo 7

Agora aplicamos o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular \mathbf{X}_{p}(t) do sistema não-homogêneo. O termo forçante é um múltiplo de e^{t}: \mathbf{f}(t)=\mathbf{b}e^{t} com \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]10\end{pmatrix}.
Regra prática: se e^{\alpha t} não é solução do homogêneo (i.e. \alpha não é autovalor de A), tenta-se uma particular da forma constante vezes e^{\alpha t}, isto é \mathbf{X}_{p}(t)=\mathbf{u}e^{\alpha t} com \mathbf{u} constante. Aqui \alpha=1, e como 1 não é autovalor (autovalores são 3 e 7), podemos tentar
\mathbf{X}_{p}(t)=\mathbf{u}e^{t},
onde \mathbf{u}=\begin{pmatrix}u_{1}\\[4pt]u_{2}\end{pmatrix} é vetor constante desconhecido.]

Passo 8

Inserir \mathbf{X}_{p} na equação: \mathbf{X}_{p}'=\mathbf{u}e^{t}. De \mathbf{X}'=A\mathbf{X}+\mathbf{b}e^{t} obtemos
\mathbf{u}e^{t}=A(\mathbf{u}e^{t})+\mathbf{b}e^{t}.
Dividindo por e^{t} (sempre positivo), resulta a equação linear para \mathbf{u}:
(I-A)\mathbf{u}=\mathbf{b},
onde I é a matriz identidade 2\times2.
Calcular I-A:
I-A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4 & \tfrac{1}{3}\\[4pt]9 & 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & -\tfrac{1}{3}\\[4pt]-9 & -5\end{pmatrix}.
Portanto devemos resolver
\begin{pmatrix}-3 & -\tfrac{1}{3}\\[4pt]-9 & -5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_{1}\\[4pt]u_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]10\end{pmatrix}.]

Passo 9

Resolver o sistema linear componente a componente. Das equações:
-3u_{1}-\tfrac{1}{3}u_{2}=-3,
-9u_{1}-5u_{2}=10.
Multiplicar a primeira equação por 3 para eliminar frações:
-9u_{1}-u_{2}=-9.
Subtrair essa última da segunda equação:
(-9u_{1}-5u_{2})-(-9u_{1}-u_{2})=-9u_{2}=10-(-9)=19.
Logo
-4u_{2}=19\quad\Rightarrow\quad u_{2}=-\tfrac{19}{4}.
Agora usar -9u_{1}-u_{2}=-9 para achar u_{1}:
-9u_{1}-\bigl(-\tfrac{19}{4}\bigr)=-9\quad\Rightarrow\quad -9u_{1}+\tfrac{19}{4}=-9.
Isolando u_{1}:
-9u_{1}=-9-\tfrac{19}{4}=-\tfrac{36}{4}-\tfrac{19}{4}=-\tfrac{55}{4},
u_{1}=\frac{-\tfrac{55}{4}}{-9}=\frac{55}{36}.
Portanto
\mathbf{u}=\begin{pmatrix}\tfrac{55}{36}\\[6pt]-\tfrac{19}{4}\end{pmatrix},
e a solução particular é
\mathbf{X}_{p}(t)=\begin{pmatrix}\tfrac{55}{36}\\[6pt]-\tfrac{19}{4}\end{pmatrix}e^{t}.]

Passo 10

A solução geral do sistema não-homogêneo é a soma da solução homogênea com a particular:
\mathbf{X}(t)=\mathbf{X}_{h}(t)+\mathbf{X}_{p}(t).
Substituindo os resultados obtidos:
\mathbf{X}(t)=C_{1}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix}e^{3t}+C_{2}\begin{pmatrix}1\\[4pt]9\end{pmatrix}e^{7t}+\begin{pmatrix}\tfrac{55}{36}\\[6pt]-\tfrac{19}{4}\end{pmatrix}e^{t},
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R} constantes arbitrárias. Isso resolve o problema em todo (-\infty,\infty).]

Resposta

\mathbf{X}(t)=C_{1}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\end{pmatrix}e^{3t}+C_{2}\begin{pmatrix}1\\[4pt]9\end{pmatrix}e^{7t}+\begin{pmatrix}\tfrac{55}{36}\\[6pt]-\tfrac{19}{4}\end{pmatrix}e^{t}]

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