Sabendo que os campos abaixo são conservativos encontre uma função potencial para cada campo dado. Utilize esta função para calcular
, onde
é a curva indicada:
; onde
é qualquer curva ligando
a
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas:
- encontrar uma função potencial para
(ou seja, uma função tal que ); - calcular
, onde é qualquer curva que liga o ponto ao ponto .
Informações relevantes dadas:
- os pontos inicial e final da curva são
e ; - o campo
está explicitamente fornecido pelas componentes e .
Passo 2
Conceito e verificação de que o campo é conservativo (aula rápida e prática):
- Um campo vetorial em duas variáveis
é conservativo (tem potencial ) se, numa região simplesmente conexa, vale
Isso vem da igualdade das segundas derivadas mistas de
:
.
- Calculemos as derivadas parciais para o nosso campo:
Como
, o campo é conservativo em toda
(que é simplesmente conexa). Portanto existe uma função potencial
.
Passo 3
Método prático para encontrar a função potencial (explicação passo a passo):
- Se
é potencial, então as componentes de são as derivadas parciais de :
- Integrar
em relação a fornece até uma função arbitrária de :
onde
é uma função que depende só de
(porque ao derivar em
ela desaparece).
Passo 4
Determinar
igualando
com a componente
:
- Calcule
da expressão obtida:
- Igualar a
dada pelo campo:
- Da igualdade obtemos
. Integrando em :
onde
é constante arbitrária.
Passo 5
Escrever a função potencial completa e verificar rapidamente:
- Substituindo
em obtemos, tomando a constante arbitrária,
- Verificação (rápida):
e , que coincidem com as componentes de . Logo é de fato potencial.
Passo 6
Calcular a integral de linha pelo Teorema Fundamental para Gradientes (aplicação didática):
- Para um campo conservativo, a integral de linha entre dois pontos independe do caminho e vale a diferença da potencial no final menos no início:
- Aqui o ponto inicial é
e o final é . Usando a função , calculamos (a constante cancela na diferença):
- Portanto