Sabendo que os campos abaixo são conservativos encontre uma função potencial para cada campo dado. Utilize esta função para calcular \int_{C} \vec{F} d r, onde C é a curva indicada:
\vec{F}(x, y)=2(x-y) \vec{i}+2(3 y-x) \vec{j}; onde C é qualquer curva ligando (3,0) a (0,3).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y)=2(x-y)\,\vec{i}+2(3y-x)\,\vec{j}
e pede duas coisas:
  • encontrar uma função potencial para \vec{F} (ou seja, uma função \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F});
  • calcular \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}, onde C é qualquer curva que liga o ponto (3,0) ao ponto (0,3).
Informações relevantes dadas:
  • os pontos inicial e final da curva são (3,0) e (0,3);
  • o campo \vec{F} está explicitamente fornecido pelas componentes P(x,y)=2(x-y) e Q(x,y)=2(3y-x).

Passo 2

Conceito e verificação de que o campo é conservativo (aula rápida e prática):
  • Um campo vetorial em duas variáveis \vec{F}=P(x,y)\,\vec{i}+Q(x,y)\,\vec{j} é conservativo (tem potencial \varphi) se, numa região simplesmente conexa, vale
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Isso vem da igualdade das segundas derivadas mistas de \varphi: \phi_{xy}=\phi_{yx}.
  • Calculemos as derivadas parciais para o nosso campo:
P(x,y)=2(x-y)\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial y}=-2,
Q(x,y)=2(3y-x)\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=-2.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=-2, o campo é conservativo em toda \mathbb{R}^2 (que é simplesmente conexa). Portanto existe uma função potencial \varphi(x,y).

Passo 3

Método prático para encontrar a função potencial (explicação passo a passo):
  • Se \varphi é potencial, então as componentes de \vec{F} são as derivadas parciais de \varphi:
\phi_x = P(x,y)=2(x-y),\qquad \phi_y = Q(x,y)=2(3y-x).
  • Integrar \phi_x em relação a x fornece \varphi até uma função arbitrária de y:
\varphi(x,y)=\int 2(x-y)\,dx = \int 2x\,dx - \int 2y\,dx = x^2 - 2xy + g(y),
onde g(y) é uma função que depende só de y (porque ao derivar em x ela desaparece).

Passo 4

Determinar g(y) igualando \phi_y com a componente Q:
  • Calcule \phi_y da expressão obtida:
\phi_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2 - 2xy + g(y)\bigr) = -2x + g'(y).
  • Igualar a \phi_y dada pelo campo:
-2x + g'(y) = 2(3y-x) = -2x + 6y.
  • Da igualdade obtemos g'(y)=6y. Integrando em y:
g(y)=\int 6y\,dy = 3y^2 + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Escrever a função potencial completa e verificar rapidamente:
  • Substituindo g(y) em \varphi obtemos, tomando a constante C arbitrária,
\varphi(x,y)=x^2 - 2xy + 3y^2 + C.
  • Verificação (rápida): \phi_x=2x-2y=2(x-y) e \phi_y=-2x+6y=2(3y-x), que coincidem com as componentes de \vec{F}. Logo \varphi é de fato potencial.

Passo 6

Calcular a integral de linha pelo Teorema Fundamental para Gradientes (aplicação didática):
  • Para um campo conservativo, a integral de linha entre dois pontos independe do caminho e vale a diferença da potencial no final menos no início:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \varphi(\text{ponto final}) - \varphi(\text{ponto inicial}).
  • Aqui o ponto inicial é (3,0) e o final é (0,3). Usando a função \varphi(x,y)=x^2-2xy+3y^2+C, calculamos (a constante C cancela na diferença):
\varphi(0,3) = 0^2 - 2\cdot0\cdot3 + 3\cdot 3^2 + C = 27 + C,
\varphi(3,0) = 3^2 - 2\cdot3\cdot0 + 3\cdot0^2 + C = 9 + C.
  • Portanto
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \varphi(0,3)-\varphi(3,0) = (27+C)-(9+C)=18.

Resposta

\varphi(x,y)=x^{2}-2xy+3y^{2}+C\newline
\displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=18

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