Ache a solução geral do sistema de equações dado:
lx1^prime(t)=a x1(t)+2 x2(t) x2^prime(t)=-2 x1(t) para a neq pm 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um sistema de equações diferenciais e encontrar a solução geral dele. O sistema que temos é:
x1^prime(t) = a x1(t) + 2 x2(t) x2^prime(t) = -2 x1(t)
Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de primeira ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de sistema, geralmente usamos matrizes e calculamos os autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema em forma matricial. Isso facilita o trabalho com as equações. Podemos representar o sistema assim:
x^prime(t) = A x(t)
Onde:
A = a & 2 -2 & 0 , x(t) = x1(t) x2(t)

Passo 3

Agora, para encontrar a solução geral, precisamos encontrar os autovalores ( lambda) da matriz A. Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante de A - lambda I = 0, onde I é a matriz identidade.
det(A - lambda I) = 0
Vamos calcular isso:
det( a - lambda & 2 -2 & -lambda ) = (a - lambda)(-lambda) - (2)(-2) = -alambda + lambda^2 + 4
Então:
lambda^2 - alambda + 4 = 0

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática para lambda:
lambda = a pm raiza^2 - 162
Notamos que o discriminante a^2 - 16 deve ser diferente de zero porque a neq pm4, o que significa que teremos dois autovalores distintos e reais ou complexos.

Passo 5

Dependendo do valor de a, temos dois casos:
  1. Se a^2 > 16: As raízes serão reais e distintas.
  2. Se a^2 < 16: As raízes serão complexas conjugadas.
Vamos tratar o caso geral em que a neq pm4, mas sem especificar qual das duas situações ocorre.

Passo 6

Para cada autovalor [\lambda), encontramos um autovetor resolvendo .
Vamos considerar um autovalor genérico . A equação fica:
Isso nos dá o sistema:
Podemos resolver para :
Podemos escolher para simplificar, então:

Passo 7

A solução geral do sistema será uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor. Ou seja:
x(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, e lambda1, lambda2 são os autovalores encontrados anteriormente.

Passo 8

Substituindo os valores dos autovalores e autovetores, temos a solução geral:
x(t) = C1 e^(a + raiza^2 - 162) t -2a - a + raiza^2 - 162 1 + C2 e^(a - raiza^2 - 162) t -2a - a - raiza^2 - 162 1

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = C1 e^(a + raiza^2 - 162) t -2a - a + raiza^2 - 162 1 + C2 e^(a - raiza^2 - 162) t -2a - a - raiza^2 - 162 1
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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