Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de primeira ordem com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de sistema, geralmente usamos matrizes e calculamos os autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema em forma matricial. Isso facilita o trabalho com as equações. Podemos representar o sistema assim:
x^prime(t) = A x(t)
Onde:
A = a & 2 -2 & 0 , x(t) = x1(t) x2(t)
Passo 3
Agora, para encontrar a solução geral, precisamos encontrar os autovalores (lambda) da matriz A. Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante de A - lambda I = 0, onde I é a matriz identidade.
Notamos que o discriminante a^2 - 16 deve ser diferente de zero porque a neq pm4, o que significa que teremos dois autovalores distintos e reais ou complexos.
Passo 5
Dependendo do valor de a, temos dois casos:
Se a^2 > 16: As raízes serão reais e distintas.
Se a^2 < 16: As raízes serão complexas conjugadas.
Vamos tratar o caso geral em que a neq pm4, mas sem especificar qual das duas situações ocorre.
Passo 6
Para cada autovalor [\lambda), encontramos um autovetor resolvendo .
Vamos considerar um autovalor genérico . A equação fica:
Isso nos dá o sistema:
Podemos resolver para :
Podemos escolher para simplificar, então:
Passo 7
A solução geral do sistema será uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor. Ou seja:
x(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, e lambda1, lambda2 são os autovalores encontrados anteriormente.
Passo 8
Substituindo os valores dos autovalores e autovetores, temos a solução geral:
x(t) = C1 e^(a + raiza^2 - 162) t -2a - a + raiza^2 - 162 1 + C2 e^(a - raiza^2 - 162) t -2a - a - raiza^2 - 162 1
Resposta
A solução geral do sistema é:
x(t) = C1 e^(a + raiza^2 - 162) t -2a - a + raiza^2 - 162 1 + C2 e^(a - raiza^2 - 162) t -2a - a - raiza^2 - 162 1