Ache a solução geral do sistema de equações dado:

Passo 1

O sistema é
x1'=x1+x2 x2'=a,x1+x2
Isso é um sistema linear de EDOs de 1º ordem. Vamos representá-lo como x'=Ax e usar autovalores e autovetores para encontrar a solução geral.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial temos
A=1&1a&1, x=x1x2
O polinômio característico vem de det(A-lambda I)=0:
det!l(1-lambda&1a&1-lambdar)=(1-lambda)^2-a=0

Passo 3

Resolvendo (1-lambda)^2-a=0 obtemos
(lambda-1)^2=aLongrightarrowlambda1=1+raiza,;lambda2=1-raiza
Aqui assumimos a>0 para termos raízes reais distintas.

Passo 4

Para cada autovalor achamos o autovetor resolvendo (A-lambdai I)vi=0. Por exemplo, para
lambda1=1+raiza temos
-raiza&1a&-raizav11v21=0
que leva a v11=1 e v21=raiza, ou seja v1=(1,raiza)^T. Similarmente, para lambda2 obtemos v2=(1,-raiza)^T.

Passo 5

Como os autovalores são distintos, a solução geral é combinação linear das soluções fundamentais:
x(t)=C1e^(1+raiza)t1raiza+C2e^(1-raiza)t1-raiza

Resposta

Em componentes,
x1(t)=C1e^(1+raiza)t+C2e^(1-raiza)t, x2(t)=raiza,C1e^(1+raiza)t-raiza,C2e^(1-raiza)t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados