Considere o seguinte sistema de equações diferenciais X^prime=[rrr1 & 1 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1] X.
Encontre a solução geral real do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear de coeficientes constantes
X' = A,X, A = 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1
O conteúdo aqui é resolver X'=AX por decomposição em autovalores e autovetores, extraindo depois a solução real a partir de soluções complexas quando necessário.

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de A.
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 1 & 0 -1 & 1-lambda & 0 0 & 0 & 1-lambda = l[(1-lambda)^2 + 1r],(1-lambda)
Logo as raízes são
(1-lambda)^2 + 1 = 0 implies lambda = 1 pm i, 1-lambda = 0 implies lambda = 1

Passo 3

Para o autovalor lambda3 = 1 puro, basta resolver (A - I)v=0. Vemos imediatamente que
v3 = 001
é um autovetor associado a lambda3=1. A solução fundamental correspondente é
X3(t) = e^t 001

Passo 4

Agora tratamos o bloco com . Para , dá o sistema
Escolhendo , um autovetor é
A solução complexa fundamental é

Passo 5

Para obter duas soluções reais independentes, extraímos a parte real e a parte imaginária de . Escrevendo
temos
Chamando essas soluções de e , temos duas soluções reais independentes no subespaço .

Passo 6

A solução geral real é combinação linear das três soluções fundamentais:
X(t) = C1,Re w(t) + C2,Im w(t) + C3,X3(t)
Em coordenadas, escrevemos
x1(t) = e^tl(C1cos t + C2sin tr), x2(t) = e^tl(-,C1sin t + C2cos tr), x3(t) = C3,e^t

Resposta

boxed x1(t) = e^tl(C1cos t + C2sin tr), x2(t) = e^tl(-,C1sin t + C2cos tr), x3(t) = C3,e^t,
onde C1,C2,C3 são constantes reais arbitrárias.

Exercícios relacionados