Ache a solução geral do sistema de equações dado e desenhe o retrato de fase correspondente:
X^prime=[rr0 & 2 -2 & 0] X

Passo 1

O enunciado traz um sistema linear autonômo em R^2, dado por
X' = A,X,
once
A = 0 & 2 [6pt] -2 & 0,
e pede a solução geral e o retrato de fase. Vamos usar a descrição componente a componente e a teoria de autovalores para sistemas lineares.]

Passo 2

Escrevendo
Derivando a primeira equação e substituindo e são constantes arbitrárias.]

Passo 3

Para achar y(t), usamos x' = 2y. Como
x'(t) = -2C1sin(2t) + 2C2cos(2t),
segue
y(t) = x'(t)2 = -C1sin(2t) + C2cos(2t)
Logo a solução geral no vetor X(t) é
X(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t)[4pt] -,C1sin(2t) + C2cos(2t) ]

Passo 4

Para entender as trajetórias eliminamos t:
x^2+y^2 = l(C1cos(2t)+C2sin(2t)r)^2 +l(-C1sin(2t)+C2cos(2t)r)^2 = C1^2 + C2^2,
ou seja as órbitas são círculos de raio raizC1^2+C2^2. Como os autovalores de A são pm2i, o ponto de equilíbrio na origem é um centro (movimento periódico).

Passo 5

Para saber o sentido de rotação, veja o ponto (1,0):
x(0)=1, y(0)=0 Longrightarrow y'(0)=-2x(0)=-2<0,
então a trajetória sai para baixo. Isso indica rotação no sentido horário. O retrato de fase consiste em círculos concêntricos girando no sentido horário em torno da origem.

Resposta

A solução geral é
X(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t)[4pt] -,C1sin(2t) + C2cos(2t) ,
com C1,C2inR. O ponto (0,0) é um centro, e o retrato de fase mostra círculos concêntricos com rotação no sentido horário.]

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