Ache a solução geral do sistema de equações dado e desenhe o retrato de fase correspondente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de um sistema de equações diferenciais lineares e desenhar o retrato de fase correspondente. Isso envolve matemática avançada, especificamente sistemas lineares de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz fornecida e usar isso para construir a solução geral do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema:
Para encontrar os autovalores (
) dessa matriz, a gente resolve o determinante da matriz
igual a zero:
Onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando o determinante:
Expandindo:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática para
:
Onde
,
,
:
Portanto, os autovalores complexos são:
Passo 5
Como os autovalores são complexos, a solução geral do sistema terá a forma:
Onde
e
. Precisamos encontrar os componentes dos vetores, mas para simplificar, a solução geral será:
Resposta
A solução geral do sistema é: