Ache a solução geral do sistema de equações dado e desenhe o retrato de fase correspondente:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de um sistema de equações diferenciais lineares e desenhar o retrato de fase correspondente. Isso envolve matemática avançada, especificamente sistemas lineares de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz fornecida e usar isso para construir a solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema:
A = 1 & 1 -3 & -2
Para encontrar os autovalores ( lambda) dessa matriz, a gente resolve o determinante da matriz A - lambda I igual a zero:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando o determinante:
det( 1 - lambda & 1 -3 & -2 - lambda ) = (1 - lambda)(-2 - lambda) - (1)(-3) = 0
Expandindo:
(1 - lambda)(-2 - lambda) + 3 = 0 (-2 - lambda + 2lambda + lambda^2) + 3 = 0 lambda^2 + lambda - 2 + 3 = 0 lambda^2 + lambda + 1 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática para lambda:
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1, b = 1, c = 1:
lambda = -1 pm raiz1 - 42 = -1 pm raiz-32 = -12 pm raiz32i
Portanto, os autovalores complexos são:
lambda = -12 pm raiz32i

Passo 5

Como os autovalores são complexos, a solução geral do sistema terá a forma:
X(t) = e^alpha t [ C1 cos(beta t) * + C2 sin(beta t) * ]
Onde alpha = -12 e beta = raiz32. Precisamos encontrar os componentes dos vetores, mas para simplificar, a solução geral será:
X(t) = e^-12 t [ C1 1 -3 cos(raiz32 t) + C2 1 -3 sin(raiz32 t) ]

Resposta

A solução geral do sistema é:
X(t) = e^-12 t [ C1 1 -3 cos(raiz32 t) + C2 1 -3 sin(raiz32 t) ]

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