Considere o seguinte sistema de equações diferenciais X^prime=[rrr1 & 1 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1] X.
Encontre a solução tal que X(0)=[l1 1 1].

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
X' = A,X, A = 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ,
com condição inicial
X(0) = 111
Para resolver, vamos usar o exponencial de matriz e notar que a terceira equação está desacoplada, enquanto as duas primeiras formam um sistema 2times2 que equivale a um giro no plano com crescimento exponencial.

Passo 2

Da terceira linha do sistema segue
x3' = x3,
cuja solução geral é x3(t)=C,e^t. Como x3(0)=1, temos
x3(t)=e^t

Passo 3

Resta resolver para y=(x1,x2)^T o sistema
y' = B,y, B = 1&1-1&1
Note que B=I+J com
J=0&1-1&0,
onde I é a identidade 2times2. Assim
e^tB = e^t(I+J) = e^t,e^tJ

Passo 4

Sabemos que J gera rotações no plano e
e^tJ =cos t & sin t -sin t & cos t
Como y(0)=(1,1)^T, resulta
y(t) = e^t, cos t & sin t -sin t & cos t 11 = e^t cos t + sin t[6pt]cos t - sin t ]

Passo 5

Juntando com , a solução completa é
]

Resposta

X(t) = e^t cos t + sin t cos t - sin t 1

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