Calcule a integral dupla.
integral duplaR x y sen x1+4 y^2 d A, R=(x, y) in R^2: 0 <= x <= pi2, 0 <= y <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR x,ysin x1+4y^2,dA,
onde
R=(x,y)inR^2:0<= x<=tfracpi2,;0<= y<=1
O conteúdo é integração dupla em um retângulo e vamos usar a ideia de separação de variáveis, já que o integrando se decompõe em produto de função de x por função de y.

Passo 2

Como R é um retângulo, podemos escrever
integral duplaRx,ysin x1+4y^2,dA =integralx=0^pi/2!integraly=0^1x,ysin x1+4y^2,dy,dx
Reagrupando, fica a produto de duas integrais:
(integral0^pi/2xsin x,dx);times;(integral0^1y1+4y^2,dy)

Passo 3

Calcular integral0^pi/2xsin x,dx por partes. Tome
u = x, dv=sin x,dx;Longrightarrow;du=dx,;v=-cos x
Então
integral xsin x,dx =-xcos x+integralcos x,dx =-xcos x+sin x
Avalia em 0 e pi/2:
l[-xcos x+sin xr]0^pi/2 =l[-tfracpi2cdot0+1r]-l[0cdot1+0r] =1

Passo 4

Calcular integral0^1y1+4y^2,dy via substituição. Seja
t=1+4y^2;Longrightarrow;dt=8y,dy;Longrightarrow;y,dy=dt8
Quando y=0, t=1; quando y=1, t=5. Logo
integral0^1y1+4y^2,dy =integralt=1^51tcdotdt8 =18integral1^5dtt =18l[ln tr]1^5 =18ln5

Passo 5

Multiplicando os resultados dos passos anteriores:
1;times;18ln5 =18ln5

Resposta

18ln5

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