Calcule a integral dupla.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral dupla
, onde
. O conteúdo envolve integrais duplas em regiões retangulares e separação de variáveis para integrais.
Passo 2
Como a região
é um retângulo e o integrando é produto de uma função só de
por outra só de
, podemos separar a integral em dois fatores independentes:
[I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}x,dx ;\times; \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1+4y^{2}},dy.
Passo 3
Para calcular cada parte, fazemos:
-
-
: usamos a substituição , , obtendo
Passo 4
Multiplicando os resultados: