Calcule a integral dupla.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla I=integral duplaR sin^2x1+4y^2,dA, onde R=[0,tfracpi2]times[0,tfrac12]. O conteúdo envolve integrais duplas em regiões retangulares e separação de variáveis para integrais.

Passo 2

Como a região R é um retângulo e o integrando é produto de uma função só de x por outra só de y, podemos separar a integral em dois fatores independentes:
[I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}x,dx ;\times; \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1+4y^{2}},dy.

Passo 3

Para calcular cada parte, fazemos:
  1. integral0^pi2 sin^2x,dx = integral0^pi2 1-cos(2x)2,dx = l[x2 - sin(2x)4r]0^pi2 = pi4
  2. integral0^12 11+4y^2,dy: usamos a substituição u=2y, du=2,dy, obtendo
integral0^1/2 11+4y^2,dy = 12 integral0^1 11+u^2,du = 12 l[arctan(u)r]0^1 = 12 cdot pi4 = pi8

Passo 4

Multiplicando os resultados:
I = pi4 times pi8 = pi^232

Resposta

pi^232

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