Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime+3 y^prime+2 y=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método dos coeficientes indeterminados, a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = 6,
ou seja, encontrar a solução geral y(x) como soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro obtemos a solução complementar resolvendo a equação homogênea associada
y'' + 3y' + 2y = 0
Escrevemos a equação característica
r^2 + 3r + 2 = 0
e fatoramos
(r + 1)(r + 2) = 0,
de onde vêm as raízes r = -1 e r = -2. Assim
yc(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp. Como o termo não homogêneo é a constante 6, tentamos um palpite constante
yp(x) = A,
cuja derivada primeira e segunda são nulas. Substituindo em
y'' + 3y' + 2y = 6
vem
0 + 0 + 2A = 6,
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A = 3
e
yp(x) = 3

Passo 4

A solução geral é a soma da parte complementar com a particular:
y(x) = yc(x) + yp(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x + 3

Resposta

y(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x + 3

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