Q57
Mostre que
|integral0^2 pi f(x) sen(2 x) d x| <= integral0^2 pi|f(x)| d x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a desigualdade
|integral0^2pif(x)sin(2x),dx|<=integral0^2pi|f(x)|,dx
O conteúdo principal aqui é a propriedade triangular da integral, que nos diz que
|integrala^bg(x),dx|<=integrala^b|g(x)|,dx,
e o fato de que l|sin(2x)r|<=1.

Passo 2

Aplicamos a desigualdade triangular à integral de f(x)sin(2x):
|integral0^2pif(x)sin(2x),dx| <=integral0^2pil|f(x)sin(2x)r|,dx

Passo 3

Dentro da integral, usamos que
l|f(x)sin(2x)r|=|f(x)|;|sin(2x)|<=|f(x)|cdot1=|f(x)|
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integral0^2pil|f(x)sin(2x)r|,dx <=integral0^2pi|f(x)|,dx

Resposta

|integral0^2pif(x)sin(2x),dx|<=integral0^2pi|f(x)|,dx

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