Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
4 y^prime prime+9 y=15

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
4,y''+9,y=15
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo constante. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que consiste em (1) resolver a parte homogênea 4y''+9y=0 e (2) encontrar uma solução particular de 4y''+9y=15.

Passo 2

Para a parte homogênea
4,y''+9,y=0
associamos a equação característica
4,r^2+9=0Longrightarrow r^2=-94Longrightarrow r=pm32,i
Logo a solução geral da homogênea é
yh(x)=C1cos!l(tfrac32xr)+C2sin!l(tfrac32xr)

Passo 3

Para achar uma solução particular yp de
4,y''+9,y=15
observamos que o termo fonte é constante. Usamos o palpite
yp(x)=A,
onde A é constante. Então yp''=0 e a equação fica
4cdot0+9,A=15Longrightarrow A=159=53

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=yh(x)+yp(x) =C1cos!l(tfrac32xr)+C2sin!l(tfrac32xr)+53

Resposta

y(x)=C1cos!l(tfrac32xr)+C2sin!l(tfrac32xr)+53,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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