Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO DE VARIAÇÃO DE PARÂMETROS.
y^prime prime+3 y^prime+2 y=sin e^t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' + 3y' + 2y = sinl(e^tr)
usando o método de variação de parâmetros. Para isso vamos precisar primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar o procedimento de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y'' + 3y' + 2y = 0
substituímos y=e^rt e obtemos o polinômio característico
r^2 + 3r + 2 = 0 Longrightarrow (r+1)(r+2)=0,
cujas raízes são r=-1 e r=-2. Logo a solução geral homogênea é
yh = C1 e^-t + C2 e^-2t

Passo 3

Escolhemos as duas soluções fundamentais
y1 = e^-t, y2 = e^-2t,
e calculamos o wronskiano
W = y1 & y2 y1' & y2' = e^-tcdot(-2e^-2t) - e^-2tcdot(-1e^-t) = -e^-3t

Passo 4

Pela variação de parâmetros, uma solução particular é
yp = -y1integral y2,f(t)W,dt + y2integral y1,f(t)W,dt,
onde f(t)=sin(e^t). Substituindo y1,y2,W temos
yp = -e^-tintegral e^-2tsin(e^t)-e^-3t,dt ;+; e^-2tintegral e^-tsin(e^t)-e^-3t,dt
Simplificando os fatores exponenciais, isso vira
yp = e^-tintegral e^tsin(e^t),dt ;-; e^-2tintegral e^2tsin(e^t),dt

Passo 5

Fazemos as substituições u=e^t, du=e^t dt:
  • Para I1=integral e^tsin(e^t),dt vem I1 = integral sin(u),du = -cos(u) = -cosl(e^tr)
  • Para I2=integral e^2tsin(e^t),dt escrevemos e^2tdt = u,du, então I2 = integral usin(u),du = -ucos(u)+sin(u) = -e^tcosl(e^tr) + sinl(e^tr)
Substituindo em yp obtemos
yp = e^-tl[-cos(e^t)r] ;-; e^-2tl[-e^tcos(e^t)+sin(e^t)r] = -e^-2tsinl(e^tr)

Passo 6

A solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com a particular:
y(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t ;-; e^-2tsinl(e^tr)

Resposta

y(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t - e^-2tsinl(e^tr)

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