Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime-10 y^prime+25 y=30 t+3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' - 10,y' + 25,y = 30,t + 3
usando o método de coeficientes a determinar. Vamos decompor em duas partes: primeiro achamos a solução homogênea resolvendo a equação característica; depois buscamos uma solução particular por um polinômio de grau compatível com o termo forçante.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 10,y' + 25,y = 0
e montamos a equação característica
lambda^2 - 10,lambda + 25 = 0
Reconhecemos que é um quadrado perfeito, pois
(lambda - 5)^2 = 0,
logo a raiz lambda = 5 é dupla. Assim a solução homogênea é
yh(t) = l(C1 + C2,tr)e^5t

Passo 3

Como o termo não-homogêneo é 30,t + 3, que é um polinômio de grau 1, fazemos o palpite
yp(t) = A,t + B,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(t) = A, yp''(t) = 0
Substituindo na equação original:
0 ;-;10,A ;+;25,(A,t + B) ;=;30,t + 3
Ou seja,
25,A,t + l(25,B - 10,Ar) = 30,t + 3
Igualando coeficientes de t e constantes,
25,A = 30, 25,B - 10,A = 3,
de onde
A = 3025 = 65, 25,B - 10cdot65 = 3 ;Longrightarrow; 25,B - 12 = 3 ;Longrightarrow; B = 1525 = 35
Portanto,
yp(t) = 65,t + 35

Passo 5

A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = l(C1 + C2,tr)e^5t + 65,t + 35

Resposta

y(t) = l(C1 + C2,tr)e^5t + 65,t + 35

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