Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
14 y^prime prime+y^prime+y=t^2-2 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de coeficientes constantes
14y'' + y' + y = t^2 - 2t
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro obter a solução homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
14y'' + y' + y = 0
A equação característica é
14r^2 + r + 1 = 0 Longrightarrow r^2 + 4r + 4 = 0 Longrightarrow (r + 2)^2 = 0,
com raiz dupla r=-2. Logo
yh(t) = (C1 + C2,t)e^-2t

Passo 3

O termo não homogêneo é o polinômio t^2 - 2t de grau 2. Como r=0 não é raiz da característica, assumimos
yp(t) = a,t^2 + b,t + c

Passo 4

Calculamos as derivadas
yp'(t) = 2a,t + b, yp''(t) = 2a,
e substituímos na EDO:
14(2a) + (2a,t + b) + (a,t^2 + b,t + c) = t^2 - 2t
Agrupando termos:
a,t^2 + (2a + b),t + l(tfrac12a + b + cr) = t^2 - 2t
Igualando coeficientes de t^2, t e termo constante, obtemos o sistema
a = 1, 2a + b = -2, tfrac12a + b + c = 0,
cuja solução é
a = 1, b = -4, c = tfrac72

Passo 5

A solução particular fica
yp(t) = t^2 - 4t + tfrac72,
e a solução geral da EDO é
y(t) = yh(t) + yp(t) = (C1 + C2,t)e^-2t + t^2 - 4t + tfrac72

Resposta

y(t) = (C1 + C2,t)e^-2t + t^2 - 4t + 72

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