Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime+y^prime-6 y=2 t

Passo 1

A equação dada é
y'' + y' - 6y = 2t
e vamos resolver por partes usando o método dos coeficientes a determinar, escrevendo a solução geral como y(t) = yh(t) + yp(t), onde yh é a solução da homogênea e yp é uma tentativa particular para o termo 2t.

Passo 2

Primeiro resolvemos a parte homogênea
y'' + y' - 6y = 0
montando a equação característica
r^2 + r - 6 = 0
cuja solução é r=2 e r=-3. Assim a solução homogênea é
yh(t) = C1 e^2t + C2 e^-3t

Passo 3

Para a parte particular, como o termo não homogêneo é 2t (polinômio de grau 1), assumimos
yp(t) = At + B
e calculamos
yp'(t) = A
yp''(t) = 0

Passo 4

Substituindo em
y'' + y' - 6y = 2t
obtém-se
0 + A - 6(At + B) = 2t
ou seja
-6A,t + (A - 6B) = 2t
Igualando coeficientes de t e do termo constante
-6A = 2 e A - 6B = 0
de onde
A = -tfrac13 e B = -tfrac118
Logo
yp(t) = -tfrac13t - tfrac118

Passo 5

A solução geral da equação original é a soma de yh e yp:
y(t) = C1 e^2t + C2 e^-3t - tfrac13t - tfrac118

Resposta

y(t) = C1 e^2t + C2 e^-3t - tfrac13t - tfrac118

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