Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime-8 y^prime+20 y=100 t^2-26 t e^t

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método dos coeficientes a determinar, a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-8y'+20y = 100t^2 -26,t,e^t
Isso envolve duas partes: (i) encontrar a solução geral da homogênea associada e (ii) obter uma solução particular para o termo não homogêneo, que é a soma de um polinômio 100t^2 e de um termo exponencial vezes polinômio -26,t,e^t.

Passo 2

A homogênea é
y''-8y'+20y=0
A equação característica é
r^2 -8r +20 = 0,
cuja raiz é
r = 8 pm raiz64 -802 =4 pm 2,i
Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = e^4tl(C1cos(2t) + C2sin(2t)r)

Passo 3

Procuramos primeiro uma solução particular para o termo polinomial 100t^2. Como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos
yp1(t) = A,t^2 + B,t + C
Calculamos
yp1' = 2A,t + B, yp1'' = 2A,
e substituímos em y''-8y'+20y:
2A -8(2A,t+B) +20(A,t^2 + B,t + C) =20A,t^2 +(-16A+20B),t + (2A-8B+20C)
Igualando ao polinômio 100t^2 obtemos o sistema
20A = 100, -16A+20B = 0, 2A-8B+20C = 0
Dessa forma
A=5, B=4, C=1110
Logo
yp1(t) = 5,t^2 + 4,t + 1110

Passo 4

Agora buscamos solução particular para -26,t,e^t. Como é da forma P1(t)e^t com P1 de grau 1 e r=1 não é raiz da característica, tentamos
yp2(t) = e^tl(D,t + Er)
Calculamos
yp2' = e^t(D,t+E) + e^t D = e^t(D,t + E + D),
yp2'' = e^t(D,t+E+D) + e^t D = e^t(D,t + E + 2D)
Substituindo em y''-8y'+20y e fatorando e^t, vem
e^tl[(D-8D+20D),t + (E+2D -8E-8D +20E)r] = e^tl[13D,t + (13E -6D)r]
Queremos isso igual a -26,t,e^t, então
13D = -26, 13E -6D = 0 ;Longrightarrow; D=-2,;E=-1213
Portanto
yp2(t) = e^tl(-2,t - 1213r)

Passo 5

A solução particular total é
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) = 5,t^2 + 4,t + 1110 ;+; e^tl(-2,t - 1213r)
Logo a solução geral da equação é
y(t) = yh(t) + yp(t) = e^4tl(C1cos(2t) + C2sin(2t)r) + 5,t^2 + 4,t + 1110 -2,t,e^t - 1213,e^t

Resposta

y(t) = e^4tl(C1cos(2t) + C2sin(2t)r) +5t^2+4t+1110 -2t,e^t-1213,e^t

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