Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, pelo método dos coeficientes a determinar, a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Isso envolve duas partes: (i) encontrar a solução geral da homogênea associada e (ii) obter uma solução particular para o termo não homogêneo, que é a soma de um polinômio
e de um termo exponencial vezes polinômio
.
Passo 2
A homogênea é
A equação característica é
cuja raiz é
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Procuramos primeiro uma solução particular para o termo polinomial
. Como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos
Calculamos
e substituímos em
:
Igualando ao polinômio
obtemos o sistema
Dessa forma
Logo
Passo 4
Agora buscamos solução particular para
. Como é da forma
com
de grau 1 e
não é raiz da característica, tentamos
Calculamos
Substituindo em
e fatorando
, vem
Queremos isso igual a
, então
Portanto
Passo 5
A solução particular total é
Logo a solução geral da equação é