Determine, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais dos gráficos das funções dadas a seguir.
f(x)=xraiz[4]x^4+1

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=xraiz[4]x^4+1
Para isso vamos analisar o domínio da função (para assíntotas verticais) e calcular os limites de f(x) quando xtopminfty (para assíntotas horizontais).

Passo 2

O denominador é raiz[4]x^4+1. Como
x^4+1>=1forall,xinR,
temos raiz[4]x^4+1>0 para todo x. Logo o domínio de f é R e não há pontos onde o denominador se anule. Portanto não existem assíntotas verticais.

Passo 3

Para xto+infty, fatoramos x^4 dentro da raiz:
limxto+inftyf(x) =limxto+inftyxraiz[4]x^4l(1+tfrac1x^4r) =limxto+inftyxxl(1+tfrac1x^4r)^1/4 =limxto+infty1l(1+tfrac1x^4r)^1/4 =1
Assim, existe assíntota horizontal y=1 para xto+infty.

Passo 4

Para xto-infty, note que raiz[4]x^4=|x|=-x quando x é negativo de grande módulo. Então
limxto-inftyf(x) =limxto-inftyx|x|l(1+tfrac1x^4r)^1/4 =limxto-inftyx-xl(1+tfrac1x^4r)^1/4 =-limxto-infty1l(1+tfrac1x^4r)^1/4 =-1
Logo existe assíntota horizontal y=-1 para xto-infty.

Resposta

Não existem assíntotas verticais.
As assíntotas horizontais são y=1 e y=-1.

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