é contínua em (a,b)=(0,0). O conteúdo envolvido é o conceito de limite de funções de duas variáveis e a definição de continuidade: precisamos mostrar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Passo 2
Para calcular o limite, vamos usar coordenadas polares: definimos
x=rcostheta, y=rsintheta,
de modo que r=raizx^2+y^2 e (x,y)to(0,0) equivale a rto0. Substituindo em f:
Observe que a fração dfraccos^2thetasin^3theta2cos^2theta+sin^2theta é limitada (é uma função contínua de theta em um conjunto compacto), digamos por M>0. Então
l|f(rcostheta,rsintheta)r|<= r^3,M
Como r^3Mto0 quando rto0, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
Passo 4
Visto que esse limite coincide com f(0,0)=0, a função é contínua no ponto (0,0).