1. Estude a continuidade da seguinte função no ponto (a, b)=(0,0) :
f(x, y)=lll x^2 y^32 x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para estudar se a função
f(x,y)= dfracx^2y^32x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
é contínua em (a,b)=(0,0). O conteúdo envolvido é o conceito de limite de funções de duas variáveis e a definição de continuidade: precisamos mostrar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0

Passo 2

Para calcular o limite, vamos usar coordenadas polares: definimos
x=rcostheta, y=rsintheta,
de modo que r=raizx^2+y^2 e (x,y)to(0,0) equivale a rto0. Substituindo em f:
f(rcostheta,rsintheta)=(rcostheta)^2,(rsintheta)^32(rcostheta)^2+(rsintheta)^2 =r^5cos^2thetasin^3thetar^2l(2cos^2theta+sin^2thetar) =r^3cdotcos^2thetasin^3theta2cos^2theta+sin^2theta

Passo 3

Observe que a fração dfraccos^2thetasin^3theta2cos^2theta+sin^2theta é limitada (é uma função contínua de theta em um conjunto compacto), digamos por M>0. Então
l|f(rcostheta,rsintheta)r|<= r^3,M
Como r^3Mto0 quando rto0, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Passo 4

Visto que esse limite coincide com f(0,0)=0, a função é contínua no ponto (0,0).

Resposta

A função é contínua em (0,0).

Exercícios relacionados