Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime+3 y=-48 t^2 e^3 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' + 3y = -48,t^2 e^3t
usando o método dos coeficientes a determinar. O conteúdo é resolução de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, combinando a solução complementar (da homogênea) com uma solução particular adequada ao termo forçante -48,t^2 e^3t.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada
y'' + 3y = 0
A equação característica é
lambda^2 + 3 = 0 Longrightarrow lambda = pm iraiz3
Portanto a solução complementar é
yc = C1cosl(raiz3tr) + C2sinl(raiz3tr)

Passo 3

Como o termo não homogêneo é da forma P2(t)e^3t onde P2 é polinômio de grau 2, propomos uma solução particular do tipo
yp = e^3tu(t), u(t) = At^2 + Bt + C,
com constantes A,B,C a determinar.

Passo 4

Calculamos yp' e yp'' em termos de u:
yp' = e^3tl(u' + 3ur), yp'' = e^3tl(u'' + 6u' + 9ur)
Substituindo em y''+3y obtemos
yp'' + 3yp = e^3tl(u'' + 6u' + 9ur) + 3e^3tu = e^3tl(u'' + 6u' + 12ur)
que deve igualar -48,t^2 e^3t. Cancelando e^3t:
u'' + 6u' + 12u = -48,t^2
Como u = At^2 + Bt + C temos
u' = 2At + B, u'' = 2A,
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u'' + 6u' + 12u = 2A + 6(2At + B) + 12(At^2 + Bt + C) = 12A,t^2 + (12A + 12B),t + (2A + 6B + 12C)

Passo 5

Igualando coeficientes de potências de t em
12A,t^2 + (12A+12B),t + (2A+6B+12C) = -48,t^2 + 0cdot t + 0
obtemos o sistema
12A = -48, 12A + 12B = 0, 2A + 6B + 12C = 0
Da primeira equação segue A = -4. Substituindo na segunda:
12(-4) + 12B = 0 ;Longrightarrow; B = 4
Na terceira:
2(-4) + 6cdot4 + 12C = 0 ;Longrightarrow; -8 + 24 + 12C = 0 ;Longrightarrow; C = -43
Assim
yp = e^3tl(-4t^2 + 4t - tfrac43r)

Resposta

Juntando as soluções, a solução geral é
boxedy(t) = C1cosl(raiz3tr) + C2sinl(raiz3tr) + e^3tl(-4t^2 + 4t - tfrac43r)

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