Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
utilizando o método dos coeficientes a determinar. Para isso vamos (i) encontrar a solução geral da homogênea via equação característica e (ii) determinar uma solução particular por ansatz trigonométrico.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
e montamos a equação característica
Resolvendo-a,
logo
Portanto
Passo 3
Para a solução particular
adotamos o ansatz
pois o lado direito é
e não coincide com as raízes da homogênea. Calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituindo em
obtemos
Isto gera o sistema
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Logo
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: