Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
4 y^prime prime-4 y^prime-3 y=cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
4y''-4y'-3y=cos2t
utilizando o método dos coeficientes a determinar. Para isso vamos (i) encontrar a solução geral da homogênea via equação característica e (ii) determinar uma solução particular por ansatz trigonométrico.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
4yh''-4yh'-3yh=0
e montamos a equação característica
4r^2-4r-3=0
Resolvendo-a,
r=4pmraiz(-4)^2-4cdot4cdot(-3)2cdot4 =4pm88
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r1=128=tfrac32, r2=-tfrac12
Portanto
yh(t)=C1e^tfrac32t+C2e^-tfrac12t

Passo 3

Para a solução particular yp adotamos o ansatz
yp(t)=Acos(2t)+Bsin(2t),
pois o lado direito é cos2t e não coincide com as raízes da homogênea. Calculamos as derivadas:
yp'(t)=-2Asin(2t)+2Bcos(2t), yp''(t)=-4Acos(2t)-4Bsin(2t)

Passo 4

Substituindo em 4y''-4y'-3y=cos2t obtemos
4(-4Acos2t-4Bsin2t) -4(-2Asin2t+2Bcos2t) -3(Acos2t+Bsin2t) =cos2t
Isto gera o sistema
-19A-8B=1, 8A-19B=0
Da segunda equação vem A=tfrac198B. Substituindo na primeira:
-19cdottfrac198B-8B=1 ;Longrightarrow; -tfrac4258B=1 ;Longrightarrow; B=-tfrac8425, A=-tfrac19425
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yp(t)=-19425cos(2t)-8425sin(2t)

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C1e^tfrac32t+C2e^-tfrac12t -19425cos(2t)-8425sin(2t)

Resposta

y(t)=C1e^tfrac32t+C2e^-tfrac12t-dfrac19425cos(2t)-dfrac8425sin(2t)

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