Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime+2 y^prime=2 t+5-e^-2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem
y'' + 2y' = 2t + 5 - e^-2t
usando o método dos coeficientes a determinar. Isso envolve dois estágios principais:
  1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
  2. Determinar uma solução particular para o termo não homogêneo 2t+5-e^-2t.

Passo 2

Primeiro resolvemos a homogênea
y'' + 2y' = 0
A equação característica é
r^2 + 2r = r(r+2)=0,
com raízes r=0 e r=-2. Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1 + C2 e^-2t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp1 para o termo polinomial 2t+5. Como é um polinômio de grau 1 mas a aplicação de derivadas reduz o grau, tentamos um polinômio de grau 2:
yp1(t) = a,t^2 + b,t + c
Calculamos
yp1' = 2a,t + b, yp1'' = 2a
e substituímos em y''+2y':
2a + 2(2a,t + b) = 4a,t + (2a + 2b) stackrel!= 2t + 5
Igualando coeficientes de t e termo constante:
4a = 2 ;Rightarrow; a=tfrac12, 2a + 2b = 5 ;Rightarrow; 1 +2b=5 ;Rightarrow; b=2
O coeficiente c não aparece na equação (entra na homogênea), então podemos tomar c=0. Assim
yp1(t) = tfrac12t^2 + 2t

Passo 4

Para o termo -e^-2t, fazemos a hipótese de que a parte forçante é da forma e^-2t, que coincide com a raiz r=-2 da homogênea. Então multiplicamos por t para evitar ressonância e tentamos
yp2(t) = A,t,e^-2t
Derivando:
yp2' = A,e^-2t(1 -2t), yp2'' = 4A,(t-1)e^-2t
Substituindo em y''+2y':
4A(t-1)e^-2t + 2A(1-2t)e^-2t = A,e^-2tl[4t-4 +2 -4tr] = -2A,e^-2t stackrel!= -e^-2t
Daí -2A = -1, logo A=tfrac12. Assim
yp2(t) = tfrac12,t,e^-2t

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com as particulares:
y(t) = yh(t) + yp1(t) + yp2(t) = C1 + C2 e^-2t + tfrac12,t^2 + 2t + tfrac12,t,e^-2t

Resposta

boxedy(t) = C1 + C2 e^-2t + tfrac12,t^2 + 2t + tfrac12,t,e^-2t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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