Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem
usando o método dos coeficientes a determinar. Isso envolve dois estágios principais:
- Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
- Determinar uma solução particular para o termo não homogêneo
.
Passo 2
Primeiro resolvemos a homogênea
A equação característica é
com raízes
e
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para o termo polinomial
. Como é um polinômio de grau 1 mas a aplicação de derivadas reduz o grau, tentamos um polinômio de grau 2:
Calculamos
e substituímos em
:
Igualando coeficientes de
e termo constante:
O coeficiente
não aparece na equação (entra na homogênea), então podemos tomar
. Assim
Passo 4
Para o termo
, fazemos a hipótese de que a parte forçante é da forma
, que coincide com a raiz
da homogênea. Então multiplicamos por
para evitar ressonância e tentamos
Derivando:
Substituindo em
:
Daí
, logo
. Assim
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com as particulares:
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.