Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime-y^prime=-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y'' - y' = -3
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para o termo constante -3.

Passo 2

Para a parte homogênea, fazemos
y'' - y' = 0
A equação característica associada é
r^2 - r = 0 Longrightarrow r(r - 1) = 0,
cujas raízes são r=0 e r=1. Logo a solução geral homogênea é
yh(x) = C1 e^0cdot x + C2 e^1cdot x = C1 + C2 e^x

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp do problema completo, observamos que o termo não homogêneo é a constante -3. Como r=0 já é raiz simples da característica, o palpite para yp deve ser um polinômio de grau zero multiplicado por x, isto é,
yp(x) = A,x,
onde A é constante a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = A, yp'' = 0
Substituindo em y'' - y' = -3
0 - A = -3 Longrightarrow A = 3
Logo
yp(x) = 3x

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 + C2 e^x + 3x

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^x + 3x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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