Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois um particular para o termo constante
e para o termo exponencial
.
Passo 2
Para a homogênea associada
procuramos solução
. Isso leva à equação característica
que tem discriminante zero e raiz dupla
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora buscamos um particular para o termo constante
. Como o lado direito é constante, tentamos
Substituindo em
vem
portanto
e
Passo 4
Para o termo
no segundo membro, notamos que
já está na solução homogênea com multiplicidade 2. Então escalamos por
e fazemos o palpite
Calculando derivadas:
Substituindo em
obtém-se
Dentro dos colchetes os termos em
e em
se cancelam, sobrando
. Logo
e
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com os particulares:
Substituindo: