Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime-y^prime+14 y=3+e^t / 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' + tfrac14,y = 3 + e^t/2
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois um particular para o termo constante 3 e para o termo exponencial e^t/2.

Passo 2

Para a homogênea associada
y'' - y' + tfrac14,y = 0
procuramos solução y=e^rt. Isso leva à equação característica
r^2 - r + tfrac14 = 0
que tem discriminante zero e raiz dupla
r = tfrac12
Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = l(C1 + C2,tr)e^t/2

Passo 3

Agora buscamos um particular para o termo constante 3. Como o lado direito é constante, tentamos
yp1 = A
Substituindo em y''-y'+tfrac14y=3 vem
0 - 0 + tfrac14 A = 3,
portanto
A = 12,
e
yp1 = 12

Passo 4

Para o termo e^t/2 no segundo membro, notamos que e^t/2 já está na solução homogênea com multiplicidade 2. Então escalamos por t^2 e fazemos o palpite
yp2(t) = C,t^2,e^t/2
Calculando derivadas:
y'p2 = C,e^t/2l(2t + tfrac12t^2r),
y''p2 = C,e^t/2l(tfrac14t^2 + 2t + 2r)
Substituindo em y''-y'+tfrac14y=e^t/2 obtém-se
C,e^t/2l(tfrac14t^2 + 2t + 2r) - C,e^t/2l(2t + tfrac12t^2r) + tfrac14,C,t^2,e^t/2 = e^t/2
Dentro dos colchetes os termos em t^2 e em t se cancelam, sobrando 2C,e^t/2=e^t/2. Logo
2C = 1 Longrightarrow C = tfrac12,
e
yp2(t) = tfrac12,t^2,e^t/2

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com os particulares:
y(t) = yh(t) + yp1 + yp2(t)
Substituindo:
y(t) = l(C1 + C2,tr)e^t/2 + 12 + tfrac12,t^2,e^t/2

Resposta

y(t) = l(C1 + C2,t + tfrac12,t^2r)e^t/2 + 12

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