As derivadas parciais aparecem, por exemplo, nas chamadas Equações Diferenciais Parciais (EDPs), as quais exprimem certas leis físicas. Por exemplo, a EDP
partial^2 upartial t^2=a^2 partial^2 upartial x^2
é denominada equação da onda e ela descreve o movimento de uma onda, que pode ser do mar, de som, luminosa ou se movendo em uma corda vibrante. Em cada item abaixo, verifique se a função é solução da equação da onda:
u(t, x)=(x-a t)^6+(x+a t)^6

Passo 1

O enunciado apresenta a equação da onda
partial^2upartial t^2 = a^2,partial^2upartial x^2
e pede para verificar se
u(t,x) = (x - a,t)^6 + (x + a,t)^6
é solução. Vamos aplicar definição de derivadas parciais de segunda ordem em t e em x e comparar.

Passo 2

Defina
f = x - a,t, g = x + a,t,
de modo que u = f^6 + g^6. Primeiro, calcule
partial upartial t =6,f^5,partial fpartial t+6,g^5,partial gpartial t =6,f^5(-a)+6,g^5(a) =6,al(g^5-f^5r)
Diferenciando novamente em t:
partial^2upartial t^2 =6,al(5,g^4,partial gpartial t-5,f^4,partial fpartial tr) =6,al(5,g^4,a-5,f^4(-a)r) =30,a^2l(f^4+g^4r)

Passo 3

Agora, calcule as derivadas em x. Como partial f/partial x=1 e partial g/partial x=1, temos
partial upartial x =6,f^5+6,g^5 =6l(f^5+g^5r)
Diferenciando em x outra vez:
partial^2upartial x^2 =6l(5,f^4cdot1+5,g^4cdot1r) =30l(f^4+g^4r)

Passo 4

Comparando os resultados, vemos que
partial^2upartial t^2 =30,a^2l(f^4+g^4r) e partial^2upartial x^2 =30l(f^4+g^4r),
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partial^2upartial t^2 = a^2,partial^2upartial x^2

Resposta

A função u(t,x)=(x - a,t)^6+(x + a,t)^6 satisfaz a equação da onda.

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