As derivadas parciais aparecem, por exemplo, nas chamadas Equações Diferenciais Parciais (EDPs), as quais exprimem certas leis físicas. Por exemplo, a EDP
é denominada equação da onda e ela descreve o movimento de uma onda, que pode ser do mar, de som, luminosa ou se movendo em uma corda vibrante. Em cada item abaixo, verifique se a função é solução da equação da onda:
Passo 1
O enunciado apresenta a equação da onda
e pede para verificar se
é solução. Vamos aplicar definição de derivadas parciais de segunda ordem em
e em
e comparar.
Passo 2
Defina
de modo que
. Primeiro, calcule
Diferenciando novamente em
:
Passo 3
Agora, calcule as derivadas em
. Como
e
, temos
Diferenciando em
outra vez:
Passo 4
Comparando os resultados, vemos que
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Resposta
A função
satisfaz a equação da onda.