Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime-16 y=2 e^4 t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y^primeprime-16y=2e^4t
usando o método de coeficientes a determinar. Vamos primeiro resolver a parte homogênea e depois buscar uma solução particular para o termo forçante 2e^4t.

Passo 2

Para a equação homogênea
y^primeprime-16y=0
associamos a equação característica
r^2-16=0
cuja raízes são
r=pm4
Logo, a solução geral da homogênea é
yh(t)=C1e^4t+C2e^-4t

Passo 3

Como o termo forçante é 2e^4t e r=4 já é raiz simples da característica, multiplicamos o palpite usual Ae^4t por t. Assim, propomos
yp(t)=A,t,e^4t

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp^prime=Al(1+4tr)e^4t,
yp^primeprime=Al(8+16tr)e^4t
Substituindo em y^primeprime-16y=2e^4t obtemos
A(8+16t)e^4t-16l(A,t,e^4tr) =Acdot8,e^4t stackrel!=2e^4t
Daí 8A=2, ou seja A=tfrac14.

Passo 5

A solução particular é
yp(t)=14,t,e^4t,
e a solução geral da equação completa fica
y(t)=yh(t)+yp(t) =C1e^4t+C2e^-4t+14,t,e^4t

Resposta

y(t)=C1e^4t+C2e^-4t+14,t,e^4t

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