Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime+4 y=3 sin 2 t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4,y = 3 sin 2t
e pede a solução geral usando o método dos coeficientes a determinar. Para isso, vamos encontrar primeiro a solução homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 4,y = 0
A equação característica é
r^2 + 4 = 0 Longrightarrow r = pm 2i
Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1 cos 2t + C2 sin 2t

Passo 3

Como o termo forçante 3sin2t coincide com a frequência da homogênea, há ressonância. Então propomos um particular da forma
yp(t) = tl(Acos 2t + Bsin 2tr)

Passo 4

Calculamos as derivadas:
yp' = Acos2t + Bsin2t + tl(-2Asin2t + 2Bcos2tr),
yp'' = -4Asin2t + 4Bcos2t -4A tcos2t -4B tsin2t
Logo
yp'' + 4yp = l(-4Asin2t + 4Bcos2t -4A tcos2t -4B tsin2tr) + 4l(A tcos2t + B tsin2tr) = 4Bcos2t -4Asin2t

Passo 5

Precisamos de
yp''+4yp = 3sin2t = 0cdotcos2t + 3sin2t
Igualando coeficientes:
4B = 0 Longrightarrow B=0,
-4A = 3 Longrightarrow A = -tfrac34
Assim
yp(t) = -tfrac34,tcos2t

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1cos2t + C2sin2t - tfrac34,tcos2t

Resposta

y(t) = C1cos2t + C2sin2t - 34,tcos2t

Exercícios relacionados