Determine cada um dos limites dados a seguir.
lim x -infty(raiz9 x^2+x-3 x)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto -inftyl(raiz9x^2+x-3xr)
O conteúdo é cálculo de limites no infinito envolvendo expressão do tipo infty-infty. Para resolver vamos usar a técnica de multiplicar pelo conjugado e propriedades de radicais.

Passo 2

Multiplicamos a expressão pelo conjugado para eliminar a raiz no numerador:
raiz9x^2+x-3x = l(raiz9x^2+x-3xr)l(raiz9x^2+x+3xr)raiz9x^2+x+3x = 9x^2+x - 9x^2raiz9x^2+x+3x = xraiz9x^2+x+3x

Passo 3

Para simplificar o denominador quando xto -infty, usamos lvert xrvert=-x e fatoramos:
raiz9x^2+x = |x|raiz9+tfrac1x = -x,raiz9+tfrac1x
Então
raiz9x^2+x+3x = -xraiz9+tfrac1x +3x = xl(3 - raiz9+tfrac1xr)
Logo
xraiz9x^2+x+3x = xxl(3-raiz9+tfrac1xr) = 13 - raiz9+tfrac1x

Passo 4

Agora basta passar ao limite xto -infty. Como raiz9+tfrac1xto3, o denominador tende a 3-3=0. Para ver o sinal, note que para x muito negativo
raiz9x^2+x-3xsim -6x,
e -6xto +infty. Portanto o limite é +infty.

Resposta

+infty

Exercícios relacionados