Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime+y=2 sin t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' + y = 2 sin t
usando o método dos coeficientes a determinar. Isso envolve quatro etapas principais: encontrar a solução da homogênea, propor um palpite para a particular, ajustar os coeficientes e montar a solução geral.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea
y'' + y = 0
A equação característica é
r^2 + 1 = 0 Longrightarrow r = pm i,
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yh(t) = C1 cos t + C2 sin t

Passo 3

Para a parte particular com termo-forçante 2sin t, faríamos o palpite usual
yp(t)=Acos t + Bsin t,
porém cos t e sin t já aparecem em yh, caracterizando ressonância. Multiplicamos, então, por t:
yp(t)=tl(Acos t + Bsin tr)

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = Acos t + Bsin t + tl(-Asin t + Bcos tr),
yp'' = 2l(-Asin t + Bcos tr) + tl(-Acos t - Bsin tr)
Substituindo em y''+y:
yp'' + yp =2l(-Asin t + Bcos tr) + tl(-Acos t - Bsin t + Acos t + Bsin tr) =2l(-Asin t + Bcos tr)

Passo 5

Igualando ao lado direito
de onde . Assim

Passo 6

A solução geral é a soma das partes homogênea e particular:
y(t)=yh(t)+yp(t) =C1cos t + C2sin t - tcos t

Resposta

y(t)=C1cos t + C2sin t - tcos t

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