Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime-4 y=(t^2-3) sin 2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' - 4y = l(t^2 - 3r)sin(2t)
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro obter a solução geral da parte homogênea e depois encontrar uma solução particular para o termo não homogêneo l(t^2-3r)sin(2t).

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 4y = 0
A equação característica é
r^2 - 4 = 0Longrightarrow r=pm2,
logo a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^2t + C2 e^-2t

Passo 3

Para a parte não homogênea, como o lado direito é um polinômio de grau 2 multiplicado por sin(2t), postulamos
yp = (A t^2 + B t + C),sin(2t) + (D t^2 + E t + F),cos(2t),
onde A,B,C,D,E,F são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos yp''-4yp. Seja
U(t)=A t^2 + B t + C, V(t)=D t^2 + E t + F
Define-se
yp = Usin(2t)+Vcos(2t)
Após derivar duas vezes e simplificar (usando produtos de derivadas de U,V e as derivadas de sin(2t),cos(2t)), obtém-se
yp''-4yp =l(-8A,t^2+(-8B-8D),t+(2A-8C-4E)r)sin(2t) +l(-8D,t^2+(8A-8E),t+(4B+2D-8F)r)cos(2t)
Esse resultado deve coincidir com ,(t^2-3)sin(2t)+0cdotcos(2t).

Passo 5

Igualando coeficientes de potências de
Dessas equações segue
e de .
Portanto

Resposta

A solução geral da equação dada é
y(t) = C1 e^2t + C2 e^-2t +l(-tfrac18t^2+tfrac1332r)sin(2t) -tfrac18tcos(2t)

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