Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime-5 y^prime=2 t^3-4 t^2-t+6

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não-homogênea
y''-5y'=2t^3-4t^2-t+6
Usaremos o método dos coeficientes a determinar, que consiste em obter primeiro a solução geral da parte homogênea e depois achar uma solução particular polinomial para a parte não-homogênea.

Passo 2

Encontramos a solução geral da equação homogênea associada
y''-5y'=0
A equação característica é
r^2-5r=0Longrightarrow r(r-5)=0,
de onde r=0 ou r=5. Portanto
yh(t)=C1 + C2 e^5t

Passo 3

Como o termo não-homogêneo 2t^3-4t^2-t+6 é um polinômio de grau 3, propomos para a solução particular um polinômio de grau 4:
yp(t)=A t^4 + B t^3 + C t^2 + D t + E

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(t)=4A t^3 + 3B t^2 + 2C t + D,
yp''(t)=12A t^2 + 6B t + 2C
Substituindo em y''-5y' temos
yp''-5yp' = (12A t^2+6B t+2C)-5(4A t^3+3B t^2+2C t+D)
=-20A,t^3+(12A-15B),t^2+(6B-10C),t+(2C-5D)
Esse polinômio deve coincidir com 2t^3-4t^2-t+6.

Passo 5

Igualando coeficientes de cada potência de t:
- Para t^3:
-20A=2Longrightarrow A=-110
- Para t^2:
12A-15B=-4Longrightarrow 12l(-tfrac110r)-15B=-4 Longrightarrow B=1475
- Para t^1:
6B-10C=-1Longrightarrow 6l(tfrac1475r)-10C=-1 Longrightarrow C=53250
- Para termo constante:
2C-5D=6Longrightarrow 2l(tfrac53250r)-5D=6 Longrightarrow D=-697625
O coeficiente E não aparece na equação e pode ser absorvido em C1, logo podemos tomar E=0.

Passo 6

A solução particular fica
yp(t)=-110t^4+1475t^3+53250t^2-697625t

Passo 7

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=yh(t)+yp(t) =C1 + C2 e^5t -110t^4+1475t^3+53250t^2-697625t

Resposta

boxedy(t)=C1 + C2 e^5t -110t^4+1475t^3+53250t^2-697625t

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