Verifique se as seguintes EDOs são exatas. Caso seja exata, encontre a sua solução geral.
(5 x+4 y) d x+(4 x-8 y^3) d y=0

Passo 1

Temos a EDO (5x+4y),dx + (4x - 8y^3),dy = 0. O conteúdo é equações diferenciais exatas. Para resolver vamos definir M(x,y)=5x+4y e N(x,y)=4x-8y^3, verificar o critério de exatidão e, se for exata, construir a função potencial Psi(x,y).

Passo 2

Para verificar a exatidão calculamos as derivadas parciais:

Passo 3

partial Mpartial y = 4,

Passo 4

partial Npartial x = 4

Passo 5

Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 6

Para achar Psi(x,y) satisfazendo Psix = M e Psiy = N, integramos M em relação a x:

Passo 7

Psi(x,y) = integral (5x+4y),dx = 52x^2 + 4xy + h(y),

Passo 8

onde h(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 9

Agora derivamos Psi(x,y) em relação a y e igualamos a N:

Passo 10

Psiy = 4x + h'(y) = 4x - 8y^3

Passo 11

Da igualdade obtemos

Passo 12

h'(y) = -8y^3

Passo 13

Integramos h'(y) para achar h(y):

Passo 14

h(y) = integral (-8y^3),dy = -2y^4 + C1

Passo 15

Descartando a constante C1 (que será absorvida no resultado final), a função potencial é

Passo 16

Psi(x,y) = 52x^2 + 4xy - 2y^4

Passo 17

A solução geral da EDO exata é dada implicitamente por Psi(x,y)=C, com C constante arbitrária.

Resposta

A solução geral implícita é
52x^2 + 4xy - 2y^4 = C

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