Verifique se as seguintes EDOs são exatas. Caso seja exata, encontre a sua solução geral.
Passo 1
Temos a EDO
. O conteúdo é equações diferenciais exatas. Para resolver vamos definir
e
, verificar o critério de exatidão e, se for exata, construir a função potencial
.
Passo 2
Para verificar a exatidão calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Como
, a equação é exata.
Passo 6
Para achar
satisfazendo
e
, integramos
em relação a
:
Passo 7
Passo 8
onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 9
Agora derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Passo 10
Passo 11
Da igualdade obtemos
Passo 12
Passo 13
Integramos
para achar
:
Passo 14
Passo 15
Descartando a constante
(que será absorvida no resultado final), a função potencial é
Passo 16
Passo 17
A solução geral da EDO exata é dada implicitamente por
, com
constante arbitrária.
Resposta
A solução geral implícita é