Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime+2 y^prime+5 y=e^t cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + 2y' + 5y = e^tcos 2t
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois uma solução particular para o termo não-homogêneo.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 2y' + 5y = 0
A equação característica é
r^2 + 2r + 5 = 0
com raízes
r = -1 pm 2i
Logo a solução homogênea é
yh(t) = e^-tl(Acos 2t + Bsin 2tr),
onde A e B são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para o termo não-homogêneo e^tcos 2t, como 1pm 2i não são raízes da característica, tomamos o Ansatz
yp(t) = e^tl(Ccos 2t + Dsin 2tr),
com C e D a determinar.

Passo 4

Defina u(t)=Ccos2t+Dsin2t. Então
yp = e^tu, yp' = e^t(u+u'), yp'' = e^t(u+2u'+u'')
Substituindo em y''+2y'+5y
yp'' + 2yp' + 5yp = e^tl(u'' + 4u' + 8ur)
e isso deve ser igual a e^tcos2t. Logo
u'' + 4u' + 8u = cos2t

Passo 5

Calculemos
Então
Igualando a
Da segunda equação vem (D=2C]. Substituindo na primeira:

Passo 6

Assim a solução particular é
yp(t) = e^tl(tfrac120cos2t + tfrac110sin2tr)
e a solução geral fica
y(t) = yh(t) + yp(t) = e^-tl(Acos2t + Bsin2tr) + e^tl(tfrac120cos2t + tfrac110sin2tr)

Resposta

y(t) = e^-tl(Acos2t + Bsin2tr) + e^tl(tfrac120cos2t + tfrac110sin2tr)

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