Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que consiste em: (i) achar a solução geral
da equação homogênea associada, (ii) propor um palpite para uma solução particular
com parâmetros a determinar, e (iii) ajustar esses parâmetros para satisfazer a equação.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea
A equação característica é
cuja solução é
Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Como o termo de força é
, tentamos uma solução particular da forma
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
. Seja
. Então
Passo 5
Substituímos
,
e
em
No lado esquerdo obtemos
e, igualando com
, vem o sistema
Resolvendo, achamos
Passo 6
Portanto a solução particular é
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular: