Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime-2 y^prime+2 y=e^2 t(cos t-3 sin t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 2y = e^2tl(cos t - 3sin tr)
Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que consiste em: (i) achar a solução geral yh da equação homogênea associada, (ii) propor um palpite para uma solução particular yp com parâmetros a determinar, e (iii) ajustar esses parâmetros para satisfazer a equação.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea
y'' - 2y' + 2y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r + 2 = 0,
cuja solução é
r = 1 pm i
Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = e^tl(C1cos t + C2sin tr)

Passo 3

Como o termo de força é e^2t(cos t -3sin t), tentamos uma solução particular da forma
yp(t) = e^2tl(Acos t + Bsin tr),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp. Seja f(t)=Acos t + Bsin t. Então
yp = e^2tf(t),
yp' = e^2tl(2f(t) + f'(t)r) = e^2tl((2A+B)cos t + (2B - A)sin tr),
yp'' = e^2tl(2l((2A+B)cos t + (2B - A)sin tr) + ((2B - A)cos t - (2A + B)sin t)r) = e^2tl((3A+4B)cos t + (-4A+3B)sin tr)

Passo 5

Substituímos yp, yp' e yp'' em
y'' - 2y' + 2y = e^2t(cos t - 3sin t)
No lado esquerdo obtemos
e^2tl((A+2B)cos t + (-2A+B)sin tr)
e, igualando com e^2t(cos t -3sin t), vem o sistema
A + 2B = 1, -2A + B = -3
Resolvendo, achamos
B = -tfrac15, A = tfrac75

Passo 6

Portanto a solução particular é
yp(t) = e^2tl(tfrac75cos t - tfrac15sin tr)
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:

Resposta

y(t) = e^tl(C1cos t + C2sin tr) + e^2tl(tfrac75cos t - tfrac15sin tr)

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