Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime+2 y^prime+y=sin t+3 cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial não-homogênea
y'' + 2y' + y = sin t + 3cos 2t
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos primeiro resolver a parte homogênea e depois achar uma solução particular adequada ao termo à direita.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea associada
y'' + 2y' + y = 0
montamos a equação característica
r^2 + 2r + 1 = 0
cuja única raiz dupla é r = -1. Logo a solução geral homogênea é
yh = C1 e^-t + C2,t,e^-t

Passo 3

Como o termo não-homogêneo é sin t + 3cos 2t e -1 não coincide com pm i nem pm 2i, não há ressonância. Logo propomos a solução particular da forma
yp = Acos t + Bsin t + Ccos 2t + Dsin 2t

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = -Asin t + Bcos t ;-;2Csin 2t +2Dcos 2t,
yp'' = -Acos t - Bsin t ;-;4Ccos 2t -4Dsin 2t
Substituindo em y''+2y'+y e agrupando coeficientes de cos t,;sin t,;cos2t,;sin2t, obtemos:
y''+2y'+y = (2B)cos t +(-2A)sin t +(-3C+4D)cos2t +(-4C-3D)sin2t

Passo 5

Igualamos esse resultado ao lado direito sin t +3cos2t, isto é,
2B = 0, -2A = 1, -3C + 4D = 3, -4C - 3D = 0
Dessas equações vem
B = 0, A = -tfrac12,
e resolvendo o sistema em C,D:
4C + 3D = 0implies D = -tfrac43C,
-3C + 4l(-tfrac43Cr) = 3implies -tfrac253C=3implies C=-tfrac925, D=tfrac1225
Então
yp = -tfrac12cos t ;-;tfrac925cos2t + tfrac1225sin2t

Passo 6

A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular:
y(t) = C1 e^-t + C2,t,e^-t ;-;tfrac12cos t ;-;tfrac925cos2t + tfrac1225sin2t

Resposta

y(t) = C1 e^-t + C2,t,e^-t - tfrac12cos t - tfrac925cos2t + tfrac1225sin2t

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