Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, usando o método dos coeficientes a determinar, a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Para isso vamos encontrar primeiro a solução complementar (resolvendo a equação característica) e depois construir uma solução particular separando o termo constante e o termo exponencial.
Passo 2
A solução complementar
vem da equação característica
As raízes são
logo
Passo 3
Para a solução particular
separamos o forçamento em duas partes:
— Parte constante
: como não há ressonância com o homogêneo, propomos
— Parte
: note que
é solução do homogêneo de multiplicidade 1, então multiplicamos por
e usamos um polinômio de grau 1:
Depois vamos ajustar
,
e
.
Passo 4
Substituindo
em
obtemos
de onde
Passo 5
Para
definimos
de modo que
. Então
e aplicando a regra de Leibniz:
Queremos isso igual a
, logo
Substituindo
e
:
Igualando coeficientes de
e termo constante:
resulta em
Passo 6
Assim a parte particular completa é
Somando com a complementar, a solução geral é