Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime+2 y^prime-24 y=16-(t+2) e^4 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver, usando o método dos coeficientes a determinar, a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' - 24y = 16 ;-;(t+2),e^4t
Para isso vamos encontrar primeiro a solução complementar (resolvendo a equação característica) e depois construir uma solução particular separando o termo constante e o termo exponencial.

Passo 2

A solução complementar yc vem da equação característica
r^2 + 2r - 24 = 0
As raízes são
r = 4, r = -6,
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yc(t) = C1 e^4t ;+; C2 e^-6t

Passo 3

Para a solução particular yp separamos o forçamento em duas partes:
— Parte constante 16: como não há ressonância com o homogêneo, propomos
yp1 = A
— Parte -(t+2)e^4t: note que e^4t é solução do homogêneo de multiplicidade 1, então multiplicamos por t e usamos um polinômio de grau 1:
yp2(t) = e^4t,(a,t^2 + b,t)
Depois vamos ajustar A, a e b.

Passo 4

Substituindo yp1=A em y''+2y'-24y obtemos
-24A = 16
de onde
A = -tfrac23

Passo 5

Para yp2 definimos u(t)=a,t^2 + b,t de modo que yp2=u,e^4t. Então
u' = 2a,t + b, u'' = 2a,
e aplicando a regra de Leibniz:
yp2'' + 2yp2' -24yp2 = e^4tl(u'' + 10,u'r)
Queremos isso igual a -(t+2)e^4t, logo
u'' + 10u' = -(t+2)
Substituindo u' e u'':
2a + 10(2a,t + b) = 20a,t + (2a + 10b) = -t - 2
Igualando coeficientes de t e termo constante:
20a = -1, 2a + 10b = -2
resulta em
a = -tfrac120, b = -tfrac19100

Passo 6

Assim a parte particular completa é
yp(t) = yp1 + yp2 = -tfrac23 ;+; e^4tl(-tfrac120t^2 ;-;tfrac19100tr)
Somando com a complementar, a solução geral é

Resposta

y(t) = C1 e^4t + C2 e^-6t - 23 - l(t^220 + 19,t100r)e^4t

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