Resolva as equações de EULER.
t^2 y^prime prime-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler
t^2y''-2y=0
que é uma equação diferencial de Cauchy–Euler. Para resolvê-la, vamos usar o método de tentativa de solução na forma de potência y=t^m e obter a equação indicial.

Passo 2

Assumimos a solução
y(t)=t^m
Então suas derivadas são
y'(t)=m,t^m-1,
y''(t)=m(m-1),t^m-2

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' na equação original:
t^2l[m(m-1),t^m-2r]-2,t^m=0
que simplifica para
m(m-1),t^m-2,t^m=0
e, como t^mneq0, obtemos a equação indicial
m(m-1)-2=0

Passo 4

Resolvendo a equação indicial
m^2-m-2=0
usamos a fórmula de Bhaskara e achamos
m=1pmraiz1+82=1pm32,
isto é,
m1=2, m2=-1

Passo 5

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação de Euler é
y(t)=C1,t^m1+C2,t^m2=C1,t^2+C2,t^-1,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C1,t^2+C2,t^-1

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