Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO DE VARIAÇÃO DE PARÂMETROS.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação não-homogênea de segunda ordem
y'' + 3y' + 2y = 11+e^t
usando o método de variação de parâmetros. O conteúdo da matéria é resolução de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo, e vamos precisar primeiro da solução da equação homogênea associada e depois aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Determinamos a solução geral da homogênea
y'' + 3y' + 2y = 0
O polinômio característico é
r^2 + 3r + 2 = 0
que fatoriza em
(r+1)(r+2)=0,
logo as raízes são r=-1 e r=-2. A solução complementar (homogênea) é
yc(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t

Passo 3

No método de variação de parâmetros tomamos duas soluções lineares independentes da homogênea
e buscamos uma particular da forma
As funções e satisfazem o sistema
O Wronskiano é

Passo 4

Pelas fórmulas
v1' = -y2,g(t)W, v2' = y1,g(t)W,
onde g(t)=1/(1+e^t), temos
v1' = -e^-2t-e^-3tcdot11+e^t = e^-2te^3t1+e^t = e^t1+e^t,
v2' = e^-t-e^-3tcdot11+e^t = -e^-te^3t1+e^t = -e^2t1+e^t
Agora integramos:
v1(t)=integral e^t1+e^t,dt =lnl(1+e^tr),
pois d(1+e^t)=e^t,dt, e
v2(t)=integral -e^2t1+e^t,dt
Para essa integral fazemos u=e^t, du=e^t dt, então
integral -e^2t1+e^t,dt =integral -u^21+u,duu =integral -u1+u,du =integrall(-1+11+ur)du =-u+ln(1+u) =-e^t+lnl(1+e^tr)

Passo 5

Montamos a solução particular
yp(t) =v1,y1 + v2,y2 =ln(1+e^t),e^-t+l(-e^t+ln(1+e^t)r)e^-2t
Reagrupando
yp(t) =(e^-t+e^-2t)ln(1+e^t)-e^-t
Assim a solução geral é a soma da homogênea com a particular.

Resposta

boxed y(t)=C1 e^-t+C2 e^-2t + (e^-t+e^-2t)lnl(1+e^tr) - e^-t

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