Q48

Calcule a integral, interpretando-a em termos das áreas.
integral1^10|x-5| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral1^10|x-5|,dx
interpretando-a como área sob o gráfico de |x-5| entre x=1 e x=10. O conteúdo é integração de função valor absoluto, que exige dividir o domínio onde o argumento muda de sinal.

Passo 2

Observe que |x-5| é piecewise linear, mudando em x=5:
|x-5| = 5 - x, & 1 <= x <= 5, x - 5, & 5 <= x <= 10
Portanto
integral1^10|x-5|,dx = integral1^5(5 - x),dx ;+; integral5^10(x - 5),dx

Passo 3

Calcule a primeira integral como área de um triângulo de base 5-1=4 e altura |1-5|=4, ou via antiderivada:
integral1^5(5 - x),dx = l[5x - tfracx^22r]1^5 = l(25 - tfrac252r) - l(5 - tfrac12r) = 8

Passo 4

Calcule a segunda integral como área de um triângulo de base 10-5=5 e altura |10-5|=5, ou via antiderivada, e some:
integral5^10(x - 5),dx = l[tfracx^22 - 5xr]5^10 = l(50 - 50r) - l(tfrac252 - 25r) = 12,5
Somando as duas áreas:
8 + 12,5 = 20,5

Resposta

integral1^10|x-5|,dx = 20,5

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