Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO DE VARIAÇÃO DE PARÂMETROS.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
y'' - 9y = 9te^3t
usando o método de variação de parâmetros. Vamos primeiro resolver a parte homogênea e depois aplicar variação de parâmetros para encontrar uma particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 9y = 0
O polinômio característico é r^2 - 9 = 0, com raízes r = 3 e r = -3. Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = C1 e^3t + C2 e^-3t

Passo 3

Escolhemos como base de soluções fundamentais
y1(t) = e^3t, y2(t) = e^-3t
O Wronskiano é
W(t) = y1 & y2 y1' & y2' = e^3tcdot(-3e^-3t) - (3e^3t)cdot e^-3t = -3 - 3 = -6
Na forma de variação de parâmetros, escrevemos uma solução particular como
yp = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t),
onde
u1' = -r(t),y2W, u2' = r(t),y1W,
com r(t)=9t e^-3t.

Passo 4

Substituindo r(t), y1, y2 e W:
u1' = -9t e^-3tcdot e^-3t-6 = 9t e^-6t6 = 32,t,e^-6t,
u2' = 9t e^-3tcdot e^3t-6 = -9t6 = -32,t
Agora integramos:
u1(t) = integral 32,t,e^-6t,dt = 32l(-t e^-6t6-e^-6t36r) = -t e^-6t4-e^-6t24,
u2(t) = integral -32,t,dt = -34,t^2

Passo 5

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = l(-t e^-6t4-e^-6t24r)e^3t + l(-34t^2r)e^-3t
Fazendo e^-6te^3t=e^-3t e combinando termos,
yp = -18t^2+6t+124,e^-3t

Resposta

A solução geral da equação é
y(t) = C1 e^3t + C2 e^-3t - 18t^2+6t+124,e^-3t

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