Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO DE VARIAÇÃO DE PARÂMETROS.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear de segunda ordem
y''-2y'+y=e^t1+t^2
e pede a solução geral usando o método de variação de parâmetros. Vamos primeiro achar a solução homogênea, depois definir duas soluções fundamentais e, a partir delas, determinar as funções variáveis u1(t) e u2(t).

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y''-2y'+y=0
A equação característica é
r^2-2r+1=0Longrightarrow(r-1)^2=0,
com raiz dupla r=1. Logo as duas soluções fundamentais são
y1(t)=e^t, y2(t)=t,e^t
e a solução homogênea fica
yh(t)=C1e^t+C2,t,e^t

Passo 3

No método de variação de parâmetros buscamos
yp(t)=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t)
com as condições auxiliares
u1'(t),y1(t)+u2'(t),y2(t)=0,[6pt] u1'(t),y1'(t)+u2'(t),y2'(t)=dfrace^t1+t^2 ]

Passo 4

Calculamos as derivadas
y1'=e^t, y2'=e^t+t,e^t=(1+t)e^t
Substituindo no sistema e dividindo tudo por e^t, obtemos
u1'+t,u2'=0,[4pt] u1'+(1+t),u2'=dfrac11+t^2
Subtraindo a primeira da segunda encontra-se
u2'=11+t^2,
e então
u1'=-t,u2'=-t1+t^2 ]

Passo 5

Integramos para obter as variáveis de parâmetro:
u2(t)=integral11+t^2,dt=arctan t,
u1(t)=integrall(-t1+t^2r),dt=-tfrac12lnl(1+t^2r)

Passo 6

A solução particular é
yp(t)=u1(t),e^t+u2(t),t,e^t =-tfrac12,e^tlnl(1+t^2r)+t,e^tarctan t
Somando com a homogênea, a solução geral fica:

Resposta

y(t)=C1e^t+C2,t,e^t -tfrac12,e^tlnl(1+t^2r) +t,e^tarctan t

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