Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO DE VARIAÇÃO DE PARÂMETROS.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO linear de segunda ordem
e pede a solução geral usando o método de variação de parâmetros. Vamos primeiro achar a solução homogênea, depois definir duas soluções fundamentais e, a partir delas, determinar as funções variáveis e .
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
A equação característica é
com raiz dupla . Logo as duas soluções fundamentais são
e a solução homogênea fica
Passo 3
No método de variação de parâmetros buscamos
com as condições auxiliares
]
Passo 4
Calculamos as derivadas
y1'=e^t, y2'=e^t+t,e^t=(1+t)e^t
Substituindo no sistema e dividindo tudo por e^t, obtemos
u1'+t,u2'=0,[4pt] u1'+(1+t),u2'=dfrac11+t^2
Subtraindo a primeira da segunda encontra-se
u2'=11+t^2,
e então
u1'=-t,u2'=-t1+t^2 ]
Passo 5
Integramos para obter as variáveis de parâmetro:
u2(t)=integral11+t^2,dt=arctan t,
u1(t)=integrall(-t1+t^2r),dt=-tfrac12lnl(1+t^2r)
Passo 6
A solução particular é
yp(t)=u1(t),e^t+u2(t),t,e^t =-tfrac12,e^tlnl(1+t^2r)+t,e^tarctan t
Somando com a homogênea, a solução geral fica:
Resposta
y(t)=C1e^t+C2,t,e^t -tfrac12,e^tlnl(1+t^2r) +t,e^tarctan t