Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO DE VARIAÇÃO DE PARÂMETROS.
y^prime prime+y=sin t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
y'' + y = sin t
usando o método de variação de parâmetros. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para aplicar variação de parâmetros, vamos precisar primeiro da solução geral da parte homogênea e em seguida construir uma solução particular.

Passo 2

Encontramos a solução geral da equação homogênea associada
yh'' + yh = 0
A equação característica é r^2+1=0, com raízes r=pm i. Portanto duas soluções independentes são
y1(t)=cos t, y2(t)=sin t
e
yh(t)=C1cos t + C2sin t

Passo 3

No método de variação de parâmetros buscamos
yp(t)=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t)
com u1',y1 + u2',y2=0 e u1',y1' + u2',y2'=sin t. O Wronskiano de y1,y2 é
W = cos t & sin t -,sin t & cos t = cos^2 t + sin^2 t = 1
As fórmulas diretas ficam então
u1' = -f(t),y2W = -sin t;sin t = -sin^2 t, u2' = f(t),y1W = sin t;cos t

Passo 4

Integramos para obter u1 e u2:
u1(t) = -integral sin^2 t,dt, u2(t) = integral sin tcos t,dt
Usando identidades:
integral sin^2 t,dt = t2-sin(2t)4, integral sin tcos t,dt = sin^2 t2
Logo
u1(t) = -l(t2-sin(2t)4r) = -t2 + sin(2t)4, u2(t) = sin^2 t2

Passo 5

Construímos a solução particular:
yp = u1,cos t + u2,sin t = l(-t2 + sin(2t)4r)cos t + sin^2 t2,sin t
Para simplificar, note que sin(2t)=2sin tcos t e sin^2 t+cos^2 t=1. Então
yp = -t2cos t + 2sin tcos t;cos t4 + sin^3 t2 = -t2cos t + sin t,(cos^2 t+sin^2 t)2 = -t2cos t + 12sin t

Passo 6

A solução geral da equação completa é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1cos t + C2sin t + l(-t2cos t + 12sin tr)

Resposta

boxedy(t) = C1cos t + C2sin t - t2cos t + 12sin t

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