Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO DE VARIAÇÃO DE PARÂMETROS.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
usando o método de variação de parâmetros. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para aplicar variação de parâmetros, vamos precisar primeiro da solução geral da parte homogênea e em seguida construir uma solução particular.
Passo 2
Encontramos a solução geral da equação homogênea associada
A equação característica é , com raízes . Portanto duas soluções independentes são
e
Passo 3
No método de variação de parâmetros buscamos
com e . O Wronskiano de é
As fórmulas diretas ficam então
u1' = -f(t),y2W = -sin t;sin t = -sin^2 t, u2' = f(t),y1W = sin t;cos t
Passo 4
Integramos para obter u1 e u2:
u1(t) = -integral sin^2 t,dt, u2(t) = integral sin tcos t,dt
Usando identidades:
integral sin^2 t,dt = t2-sin(2t)4, integral sin tcos t,dt = sin^2 t2