lim x infty(1+1x)^-x2

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftyl(1+1xr)^-x2
O conteúdo aqui é reconhecer a forma clássica de limite que gera e e usar logaritmo para tratar o expoente.

Passo 2

Definimos
L = limxtoinftyl(1+1xr)^-x2
Para facilitar, vamos calcular ln L:
ln L = limxtoinfty lnl((1+tfrac1x)^-tfracx2r) = limxtoinfty -x2,lnl(1+1xr)

Passo 3

Usamos a série de Taylor para ln(1+u) com u=1/x:
lnl(1+1xr) = 1x-12x^2+O!l(tfrac1x^3r)
Multiplicando por -tfracx2 obtemos
-x2lnl(1+1xr) =-x2l(1x-12x^2+O(tfrac1x^3)r) =-12+14x+O!l(tfrac1x^2r)
Quando xtoinfty, esse limite tende a -tfrac12.

Passo 4

Logo
ln L = -12 Longrightarrow L = e^-1/2 = 1raize

Resposta

1raize

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