Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO DE VARIAÇÃO DE PARÂMETROS.
y^prime prime+y=cos ^2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de segunda ordem
y'' + y = cos^2 t
usando o método de variação de parâmetros.
O conteúdo necessário é: encontrar a solução geral da homogênea, calcular o Wronskiano, aplicar as fórmulas de variação de parâmetros e integrar para obter a solução particular.

Passo 2

Primeiro obtemos a solução geral da homogênea associada
y'' + y = 0
As duas soluções lineares independentes são
y1(t) = cos t, y2(t) = sin t

Passo 3

Calculamos o Wronskiano de e :

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dizem que uma solução particular é
yp = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t),
onde
u1' = -y2,f(t)W, u2' = y1,f(t)W,
e aqui f(t)=cos^2 t.

Passo 5

Substituindo y1, y2, W e f(t):
u1' = -sin t;cos^2 t, u2' = cos t;cos^2 t = cos^3 t

Passo 6

Integramos para achar u1 e u2.
Para u1: faça v=cos t, dv=-sin t,dt, então
u1 = integral -sin t,cos^2 t,dt = integral v^2,dv = v^33 = cos^3 t3
Para u2: use w=sin t, dw=cos t,dt, então
u2 = integral cos^3 t,dt = integral (1-sin^2 t)cos t,dt = integral (1-w^2),dw = w - w^33 = sin t - sin^3 t3

Passo 7

Agora montamos a solução particular
yp = u1,cos t + u2,sin t = cos^3 t3cos t + l(sin t - sin^3 t3r)sin t = cos^4 t3 + sin^2 t - sin^4 t3

Passo 8

Simplificamos yp. Note que
cos^4 t - sin^4 t = cos2t e sin^2 t = tfrac1-cos2t2.
Portanto
yp = cos2t3 + 1-cos2t2 = 12 - cos2t6

Resposta

boxedy(t) = C1cos t + C2sin t + 12 - cos2t6,
que é a solução geral da equação dada pelo método de variação de parâmetros.

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