lim x infty(1+1x)^4-x

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxtoinftyl(1+1xr)^4 - x
O conteúdo envolvido é o cálculo de limites de potências que se relacionam com a definição do número e, pois sabemos que
limxtoinftyl(1+1xr)^x = e

Passo 2

Vamos separar a potência em dois fatores, usando que 4 - x = 4 + (-x):
l(1+tfrac1xr)^4 - x = l(1+tfrac1xr)^4;cdot;l(1+tfrac1xr)^-x

Passo 3

Analisamos cada fator:
1.
limxtoinftyl(1+tfrac1xr)^4 =1^4=1,
pois limxtoinfty(1+1/x)=1.
2.
l(1+tfrac1xr)^-x =l[(1+tfrac1x)^xr]^-1,
e sabemos que limxtoinfty(1+tfrac1x)^x=e. Portanto
limxtoinftyl(1+tfrac1xr)^-x =e^-1

Passo 4

Multiplicando os resultados dos dois fatores, obtemos
limxtoinftyl(1+tfrac1xr)^4 - x =1cdot e^-1 =e^-1

Resposta

e^-1

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