Q32

Determine uma região no plano cartesiano cuja área seja igual ao limite dado. Não calcule o limite.
lim n infty sumi=1^n[pi4 n tan (i pi4 n)]

Passo 1

O enunciado pede para interpretar o limite
limntoinftysumi=1^nl[pi4n,tanl(tfracipi4nr)r]
como área de uma região no plano, sem efetuar a integração.

Passo 2

Reconhecemos que De<a x = tfracpi4n e xi = tfracipi4n. Assim o somatório
sumi=1^n f(xi),De<a x com f(x)=tan(x)
é exatamente a definição de soma de Riemann para a integral de f no intervalo [0,tfracpi4].

Passo 3

Logo o limite dado corresponde à integral
integral0^pi/4tan(x),dx
E sabemos que geometricamente essa integral representa a área sob a curva y=tan(x) de x=0 até x=pi/4.

Passo 4

Portanto a região buscada é
R = l(x,y)mid 0 <= x <= tfracpi4,;0 <= y <= tan(x)r,
isto é, a região limitada abaixo pelo eixo x, à esquerda por x=0, à direita por x=tfracpi4 e acima pela curva y=tan(x).

Resposta

A região no plano cuja área é igual ao limite é
(x,y)mid 0 <= x <= tfracpi4,;0 <= y <= tan(x)

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