Calcule a integral de linha
integralC(4 y^2 d x+2 x y d y), onde C é o quadrado de vértices (0,0),(2,0),(2,1) e (0,1) orientado no sentido anti-horário. Resposta: 6.

Passo 1

Resumindo o problema: queremos calcular a integral de linha integralC(4y^2,dx+2xy,dy) ao longo do quadrado com vértices (0,0),(2,0),(2,1),(0,1) percorrido no sentido anti-horário. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green.

Passo 2

Usamos o Teorema de Green:
integralC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
No nosso caso, definimos P(x,y)=4y^2 e Q(x,y)=2xy.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = 2y, partial Ppartial y = 8y,
logo o integrando do duplo é partial Qpartial x-partial Ppartial y = -6y.

Passo 4

Agora fazemos a integral dupla sobre D = [0,2]times[0,1]:
integral duplaD -6y,dA = integralx=0^2integraly=0^1 -6y,dy,dx
Primeiro em y: integral0^1 -6y,dy = -6cdottfrac1^22 = -3. Depois em x: integral0^2 -3,dx = -6.

Resposta

-6

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