Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO DE VARIAÇÃO DE PARÂMETROS.
y^prime prime-y=cosh t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear não-homogênea de segunda ordem
y'' - y = cosh t
e pede a solução geral usando o método de variação de parâmetros. Vamos precisar de:
  1. solução geral da homogênea,
  2. escolhas de y1,y2 e cálculo do Wronskiano,
  3. fórmulas de variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Encontremos a solução da homogênea associada
y'' - y = 0
A equação característica é
r^2 - 1 = 0Longrightarrow r = pm 1
Logo a solução geral homogênea é
yh = C1 e^t + C2 e^-t

Passo 3

Escolhemos as soluções fundamentais
y1 = e^t, y2 = e^-t
e calculamos o Wronskiano
W(y1,y2) = e^t & e^-t e^t & -e^-t = -e^t e^-t - e^t e^-t = -2

Passo 4

Pela variação de parâmetros, escrevemos
yp = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t)
onde
u1' = -f(t),y2W, u2' = f(t),y1W,
com f(t)=cosh t. Assim
u1' = -cosh t,e^-t-2 = cosh t,e^-t2, u2' = cosh t,e^t-2 = -cosh t,e^t2

Passo 5

Calculamos as integrais:
Como
cosh t,e^-t=tfrace^t+e^-t2,e^-t=tfrac1+e^-2t2,
u1' = 1+e^-2t4, u1 = integral u1',dt = t4 - e^-2t8
E como
cosh t,e^t=tfrace^t+e^-t2,e^t=tfrace^2t+12,
u2' = -e^2t+14, u2 = integral u2',dt = -e^2t8 - t4

Passo 6

Formamos a solução particular
yp = u1,e^t + u2,e^-t = l( t4 - e^-2t8r)e^t + l(-e^2t8 - t4r)e^-t
Simplificando
yp = t4(e^t - e^-t) - 18(e^t + e^-t) = t2,sinh t - 14,cosh t

Passo 7

A solução geral da equação não-homogênea é
y(t) = yh + yp = C1 e^t + C2 e^-t + t2,sinh t - 14,cosh t

Resposta

y(t) = C1 e^t + C2 e^-t + t2,sinh t - 14,cosh t

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